O conhecimento matemático tem sua origem relacionada às necessidades imediatas da existência humana frente à busca pelo domínio da natureza. A matemática é, portanto, resultado das relações estabelecidas pelo homem com a natureza e com o próprio homem, na produção da vida, e exige do sujeito respostas cada vez mais complexas. Corrobora-se com Ríbnikov (1987) ao afirmar que:

Assim sendo, as necessidades da vida humana impulsionaram a produção dos conhecimentos matemáticos. Essa premissa está sustentada na materialidade da vida, ou seja, no resultado da relação dos homens com a natureza e dos homens entre si, ao tentar compreendê-lo e nele intervir. A partir disso, pode-se afirmar que o controle das diferentes grandezas como produto da ação humana é imprescindível para a manutenção da vida.

Foi no e pelo trabalho humano que a linguagem foi produzida, pois o estabelecimento de relações entre os sujeitos modificou o modo de produzir a vida. Ao se fixar nas terras, criar animais e produzir alimentos, houve a necessidade de controlar suas posses e suas produções estabelecendo correspondência um a um entre seus objetos. Para ilustrar essa afirmação, recorre-se aos registros históricos nas cavernas, aos desenhos pictográficos, aos entalhes em madeira e aos ossos como forma de garantir o registro dos diferentes controles de quantidades. Ifrah (1989) evidencia que:

Nessa mesma direção, Moura (2007) explica que o homem, ao

Tal concepção de matemática, defendida por Moura (2007), diz respeito ao processo de humanização e do movimento histórico-cultural. Assim, a matemática é concebida como linguagem composta por um conjunto de signos que permite ao homem codificar e transmitir informações sobre o controle dos diferentes movimentos quantitativos.

É importante salientar que a matemática é fundamental para a inserção dos sujeitos nas relações sociais, visto que a apropriação dos instrumentos simbólicos materializados nos conhecimentos matemáticos torna-se instrumento do pensamento, possibilitando, com isso, o desenvolvimento da personalidade dos sujeitos. Moura (2013) afirma que a matemática como produto da atividade humana é:

Assim, no movimento de produção da vida, a humanidade é produzida no e pelos homens que são sujeitos da história.

Há evidências de que, desde a antiguidade, o homem utiliza a matemática para controlar quantidades e organizar a sociedade, sendo, portanto, uma criação humana, com necessidades e preocupações de diferentes culturas e momentos históricos diversos. De acordo com Ifrah (1989),

Sendo assim, ao analisar a história, é possível perceber que a matemática se difunde por diversas áreas, transmitindo seus conhecimentos produzidos com o passar do tempo, complementando estudos e possibilitando novas invenções feitas com base em cálculos, cada vez mais sofisticados no âmbito das transformações sociais.

Ao considerar os aspectos históricos sobre a constituição dos conceitos matemáticos, com o intuito de que a humanidade possa ter o controle das diferentes grandezas na prática social, lança-se uma questão: Como e quando o conhecimento matemático foi constituído como disciplina escolar?

Partindo do pressuposto de que as diferentes disciplinas escolares sofrem transformações em seu processo histórico de constituição, isto é, são influenciadas pela prática social, essas mudanças podem ser tanto na ampliação dos conhecimentos quanto na sua organização para o ensino de seus conceitos. No caso da Matemática, por volta dos anos de 1549 a 1759, era uma disciplina integrante do curso de Filosofia e pouco reconhecida. Após a expulsão dos jesuítas do país, novas disciplinas foram introduzidas no Currículo, por exemplo, a Aritmética, a Álgebra e a Geometria. Essas aproximavam a história da educação brasileira ao ensino moderno já presente na Europa.

No início do século XIX, na cidade do Rio de Janeiro, o Colégio Pedro II representou um avanço ao introduzir em seu currículo as matemáticas (Aritmética, Álgebra e Geometria) em todas as oito séries do curso (primário e ginasial). A consolidação dessa concepção científica foi possível em decorrência da Reforma Benjamin Constant no ano de 1890. Destaca-se, ainda, que, em 1908, o Brasil participou, como convidado, do movimento para modernização do ensino da Matemática. No entanto, somente em 1928 apresentou a proposta para modernizar o seu ensino no país, iniciando esse trabalho no Colégio Pedro II.

Por volta de 1920, a concepção empírico-ativista marcou o ensino de Matemática no Brasil, pois estava atrelada às necessidades surgidas após a Primeira Guerra Mundial, a qual estava articulada ao movimento escolanovista, explicitada pela Reforma Francisco Campos (1931/1932). Esse movimento questionava o trabalho realizado até o momento pela pedagogia tradicional e passou a dar ênfase aos aspectos metodológicos do ensino, em oposição ao ensino conteudista trabalhado pela escola tradicional.

De acordo com Fiorentini (1995), o currículo, para o movimento da escola nova, deveria ser “organizado a partir dos interesses do aluno” e o conhecimento matemático emergia “do mundo físico” e era “extraído pelo homem através dos sentidos” (FIORENTINI, 1995, p. 9). De acordo com esse autor, alguns defensores dessa tendência pedagógica “acreditavam que bastava a observação contemplativa da natureza ou de objetos/réplicas de figuras geométricas para a descoberta das ideias matemáticas” (FIORENTINI, 1995, p. 9).

Para ministrar as aulas, os professores eram nomeados por decreto federal e sua formação era realizada na Faculdade de Educação, Ciências e Letras, mas não se fazia menção sobre a formação específica para o trabalho com a Matemática. O primeiro curso de graduação em Matemática foi criado, em 1934, na Universidade de São Paulo (USP).

No ano de 1945, foi fundada a Sociedade de Matemática de São Paulo; porém, foi somente em 1980 que se criou a Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Apesar da criação dessas sociedades, foi somente no final da década de 1980, com a criação da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) e dos primeiros programas de pós-graduação em Educação Matemática, que a Matemática escolar ganhou impulso para se pensar suas práticas de ensino. Tais sociedades são importantes para a sistematização e a divulgação dos trabalhos relacionados à Matemática e ao seu ensino.

Após a Segunda Guerra Mundial (1939-1945), mais especificamente após 1950, houve a constatação da defasagem entre o progresso científico-tecnológico da sociedade industrial e o currículo vigente da Matemática, provocando a articulação com o movimento internacional que ficou conhecido como Movimento da Matemática Moderna — MMM, o qual teve seu auge na década de 1960 e a sua maior divulgação foi por meio dos livros didáticos.

Esse movimento pretendia, além de unificar os quatro campos fundamentais (Álgebra, Geometria, Aritmética e Trigonometria), promover “[…] um retorno ao formalismo matemático, só que sob um novo fundamento: as estruturas algébricas e a linguagem formal da Matemática contemporânea” (FIORENTINI, 1995, p. 14).

No final da década de 1960 até o final da década de 1970, o destaque na educação foi para a tendência tecnicista, a qual enfatizava o uso de novas tecnologias de ensino e imprimia à Matemática um caráter mecânico e pragmático, além de se apresentar como desvinculada das relações de interesses sociais e políticos. Essa tendência reduzia o ensino da Matemática a “[…] um conjunto de técnicas, regras e algoritmos [...]” e sua finalidade era “[…] desenvolver habilidades e atitudes computacionais e manipulativas, capacitando o aluno para a resolução de exercícios ou problemas-padrão” (FIORENTINI, 1995, p. 17).

O fracasso do movimento modernista e da tendência tecnicista fez com que alguns estudiosos voltassem a atenção aos aspectos socioculturais da Educação Matemática. Essa nova corrente pedagógica, chamada de socioetnocultural, apoiava-se na etnomatemática e concebia a Matemática como “[…] um saber prático, relativo, não-universal e dinâmico, produzido histórico-culturalmente nas diferentes práticas sociais” (FIORENTINI, 1995, p. 26).

A partir dos anos 1980, iniciou-se o movimento autodenominado de construtivista, que concebia a Matemática “como uma construção humana constituída por estruturas e relações abstratas entre formas e grandezas reais ou possíveis” (FIORENTINI, 1995, p. 20). Nessa tendência, de acordo com o autor, destaca-se a importância do aprender a aprender e a Matemática assume um viés psicologizante.

Nesse mesmo período, iniciam-se os estudos e a apresentação de uma nova tendência, a histórico-crítica. Para essa vertente, o ensino da Matemática não devia ser concebido como pronto e acabado, mas como conhecimento vivo, dinâmico e historicamente produzido para a satisfação das necessidades humanas. A Matemática é produto das relações sociais e o seu ensino deve mobilizar no aluno o sentido e o significado da aprendizagem dos conceitos matemáticos para sua ação na prática social. O aluno, por meio dessa aprendizagem, deve ser “capaz de pensar, estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar” (FIORENTINI, 1995, p. 32). Destaca-se que é nessa perspectiva que o Currículo para a Rede Pública Municipal de Ensino de Cascavel se fundamenta, por compreender a Matemática como histórica e produto das necessidades humanas. Evidencia-se, também, que a tendência histórico-crítica é a que possibilita o trabalho com o conhecimento matemático de forma a desenvolver em cada aluno o máximo de suas potencialidades. Afirma-se isso com base nos pressupostos da Teoria Histórico-Cultural e da Pedagogia Histórico-Crítica, discutidos nos fundamentos teóricos deste documento.

Analisando o histórico da Matemática como disciplina escolar, é possível perceber suas transformações ao longo da história da educação. Tais marcas se referem ao processo histórico-social de produção do conhecimento matemático como um momento específico do desenvolvimento do gênero humano, concluindo que os conhecimentos gerados nessa área se consolidam como clássicos ou fundamentais, são permanentes no tempo e nos diferentes espaços em que foram produzidos.

A Matemática está presente no cotidiano da criança desde seu nascimento, uma vez que está inserida em uma cultura que a utiliza como instrumento simbólico nas relações entre o homem e a natureza. Giardinetto e Mariani (2007) destacam que:

Para tanto, faz-se necessário compreender a Matemática como produto das necessidades humanas decorrentes das atividades realizadas pelos homens no decorrer da história. Caraça (1989) destaca que a Ciência Matemática pode ser vista sob dois aspectos:

Munhoz e Moura (2019) reforçam essa concepção de Matemática, ao afirmarem que

Assim, a Matemática, como parte do conjunto de conhecimentos científicos, constitui-se como um componente curricular fundamental e indispensável nos currículos escolares. Tanto que Machado (1987) declara:

Para que os sujeitos possam se apropriar dos conhecimentos matemáticos, historicamente acumulados, é necessário que as relações sociais e culturais se efetivem por meio do processo educativo para que cada sujeito reproduza a atividade material e intelectual humana, depositada nos objetos culturais. Assim, é necessário que cada sujeito realize, com relação a esses objetos materiais e ideais, uma atividade determinada, que reproduza as ações e as operações físicas e psíquicas nela materializadas, atividade essa orientada e organizada, geralmente, pelos adultos e, no caso da educação escolar, mais especificamente pelo professor. Nesse sentido, segundo Leontiev:

A reprodução é tomada como o processo em que a produção coletiva dos bens culturais passa a ser subjetivada pelos sujeitos. Para o homem encarnar o desenvolvimento da espécie humana, é necessário apropriar-se dos bens culturais, ou seja, como afirma Saviani (1985), é preciso reproduzir o “modo como é produzida a existência humana” (SAVIANI, 1985, p. 80). Dá-se às produções sociais históricas do gênero humano, que garantem e facilitam sua vida, entre elas os instrumentos físicos (ferramentas) e simbólicos (conceitos) e as técnicas, o nome de cultura.

Com base nos pressupostos da Pedagogia Histórico-Crítica, compreende-se que é função social da escola pública garantir aos alunos a apropriação dos conhecimentos científicos, como instrumentos simbólicos na relação dos sujeitos com o mundo. Nessa perspectiva, apropriar-se dos conceitos matemáticos é condição para a humanização dos sujeitos inseridos no processo escolar. Para tanto, é necessária a intervenção direta e intencional do professor, ou seja, o desenvolvimento de um ensino sistematizado como condição para a formação, nos alunos, das funções psicológicas superiores².

Cabe, então, discutir o ensino de Matemática como parte deste Currículo e o reconhecimento de sua especificidade no processo de apropriação do conhecimento pelos alunos, ou seja, sua finalidade e o objeto de estudo do componente curricular de Matemática. Para compreender a finalidade dessa ciência, na atividade produtiva e social dos homens e a relação do conteúdo e do seu trabalho com as tarefas gerais, é importante situar o objeto de estudo da Matemática. O objeto de estudo da Matemática constitui-se no controle do movimento das variações das diferentes grandezas, compreendendo que as relações entre as diferentes grandezas revelam os aspectos geométricos, algébricos e aritméticos. Esse objeto, contudo, não se apresenta diretamente na realidade objetiva; é fruto da abstração e existe como representação.

O controle das variações entre as grandezas é inerente à vida humana e se apresenta na prática social de duas formas: grandezas discretas e grandezas contínuas³. Como explica Dias (2007),

Desse modo, para que o homem consiga controlar as diferentes grandezas, ele produz instrumentos físicos e psíquicos para atingir esse objetivo, pois:

A partir do exposto por Dias (2007), é possível verificar a interdependência entre as grandezas e a sua medição para satisfação da necessidade humana de controlar as diferentes quantidades presentes nas variedades de objetos que se apresentam na prática social da humanidade.

Do ponto de vista histórico, o homem utilizava o próprio corpo para o controle de quantidades discretas, por exemplo, no controle de quantidades dos animais. Essa forma de controle de quantidades revelou-se insuficiente quando as relações sociais foram se complexificando, surgindo, assim, a necessidade de quantidades cada vez maiores e menores. Para registrar e memorizar as diferentes quantidades, os seres humanos recorreram a diferentes representações, tais como: os desenhos pictográficos, entalhes em madeiras e ossos. Nesse sentido, Ritter (1989) afirma que “[...] descobertas arqueológicas revelaram que os primeiros sistemas de escrita surgiram para atender à necessidade de calcular, dividir e repartir a riqueza material das sociedades”⁴ (RITTER, 1989, p. 12, tradução nossa).

Dessa maneira, a Matemática na sua origem surgiu como um conjunto de regras práticas que respondiam às necessidades da vida diária, cuja validade e aceitação fundamentavam-se no cumprimento das tarefas de ordem prática, tais como: controle de peso e medidas no comércio, cálculo de impostos, construção de moradias, monumentos funerários, medidas de terras etc. O caráter utilitário decorrido, diretamente, das necessidades práticas demonstra que as exigências da realidade social foram determinantes para o surgimento e o consequente desenvolvimento dessa ciência.

O predomínio da ação humana sobre a natureza foi se aprimorando e intensificando a partir do momento em que o homem pelo e no trabalho humanizou a sua mão, transformando-a em ferramenta. Articulado a esse processo, foi se desenvolvendo a consciência humana, em um primeiro momento, relacionada às condições necessárias para se obter resultados práticos e úteis, produzindo assim a ação recíproca transformadora do homem sobre a natureza (ENGELS, 1976). Esse processo no qual o homem, transformando a realidade, transforma-se a si próprio, está intimamente ligado ao processo de conhecimento. Conforme explica Otte (1993), “[...] o caráter abstrato do conhecimento matemático obtém sua justificação em algo concreto, que é real e presente antes de qualquer elaboração Matemática” (OTTE, 1993, p. 80). Todavia, como acontece em todos os campos do pensamento humano, esse conhecimento mediado pelas abstrações se afasta do mundo real do qual se originou como condição necessária para depois agir sobre ele.

O conhecimento matemático é fruto da invenção e da criação humana; trata-se de um conjunto de conhecimentos científicos, construídos no âmbito das relações sociais expressas por meio de conexões entre os homens e a natureza. Nessa dinamicidade, ele foi se modificando em função de pressões contextuais advindas da interferência de outros setores do conhecimento humano, da cultura e da técnica e, também, em função das necessidades internas do próprio conhecimento matemático.

Ao analisar historicamente esse desenvolvimento, no constante processo de intervenção intencional do homem para assegurar a sua existência, observa-se que esse conhecimento vem sendo produzido atendendo às solicitações da própria ciência e de determinadas época e sociedade.

A compreensão do processo histórico do conhecimento matemático é fundamental para entender a presença de determinados conteúdos nos currículos atuais. Miguel e Brito (1996, p. 51), fundamentados em Aleksandrov (1982), afirmam: “Tudo o que hoje se insere no âmbito da matemática elementar, constituindo os quatro pilares da matemática (aritmética, geometria, álgebra e trigonometria) atinge o seu máximo desenvolvimento nesta fase” (MIGUEL; BRITO, 1996, p. 51), que compreende desde o período grego até o renascimento europeu, passando também pela matemática oriental.

Os conhecimentos matemáticos e dos demais componentes curriculares são fundamentais para a formação omnilateral do sujeito. Sendo assim, o trabalho a ser realizado, desde a Educação Infantil, deve ter como base os conceitos que compõem essa área do conhecimento. De acordo com os pressupostos da Teoria Histórico-Cultural, a organização do ensino deve considerar as necessidades dos alunos no processo de apropriação da cultura e da formação humana, de forma que garanta o seu pleno desenvolvimento.

O trabalho pedagógico em Matemática deve ter como direção a formação das funções psicológicas superiores, em especial, o pensamento teórico. Para isso, as ações de ensino devem ser pensadas de forma intencional, de modo a superar o senso comum, o ensino com base em práticas mecânicas, por meio de um ensino alicerçado nos conhecimentos científicos. Davídov (1988) advoga que:

Não se pode negar que o saber cotidiano é importante como ponto de partida na prática escolar, pois contempla elementos inseparáveis da vida humana. Não obstante, somente a apropriação dos conceitos matemáticos possibilita a superação desse saber imediato, inerente à pragmaticidade presente no cotidiano, garantindo assim a apropriação de conhecimentos necessários à vida do sujeito participante da sociedade. A respeito dessa ideia, Santos afirma:

O que se quer ressaltar é que, ao relacionar o saber do cotidiano no trabalho pedagógico, o professor precisa dominar os conhecimentos científicos, desde as suas origens até suas implicações mais amplas para organizar adequadamente o processo de ensino e de aprendizagem, empregando meios para a superação das práticas escolares pragmáticas.

Conforme indica Giardinetto (1999), “[...] o ensino da matemática, que realmente quer contribuir para a humanização do homem, não pode abrir mão de, através da escola, possibilitar a superação destes limites que o conhecimento cotidiano impõe” (GIARDINETTO, 1999, p. 69). Isso equivale a dizer que não se nega o lado prático da atividade humana, o que se nega é o seu entendimento nos limites do prático-utilitário, é a negação ao seu caráter absoluto, mesmo quando esse é apontado em uma dimensão constitutiva importante da atividade humana, ainda que subordinada a outro significado.

Assim, quando se fala da prática como fundamento da teoria, deve-se levar em conta que essa muitas vezes surge para satisfazer exigências da realidade ou, ainda, para atender às necessidades de ordem econômica e social. Para a Matemática, isso significa que:

A concepção de Matemática preconizada neste Currículo é compreendida como um conjunto de signos e de conceitos produzidos historicamente para a satisfação das necessidades humanas. Mesmo quando esses conhecimentos se afastam da prática social, a sua razão de produção advém dos problemas enfrentados pela humanidade, conforme defende Caraça (1989). Considera-se importante assegurar que o seu objeto de estudo consiste no controle do movimento de variações das diferentes grandezas e a seguir desenvolver-se-ão os aspectos essenciais para encaminhar o trabalho pedagógico teórico-metodológico desse objeto, como forma de garantir que o aluno se aproprie dos conhecimentos matemáticos na direção da formação do seu pensamento teórico.

O trabalho pedagógico no componente curricular Matemática visa garantir à criança apropriar-se das bases dos conceitos matemáticos de modo a compreender as variações entre as diferentes grandezas presentes na prática social.

O papel da instituição de ensino, de acordo com a Teoria Histórico-Cultural, é a sistematização e socialização do conhecimento científico. Dessa forma, é papel do professor criar condições para que os sujeitos se apropriem dos conceitos científicos das diferentes áreas do conhecimento, dentre elas, a Matemática, para que assumam atitudes de agentes de transformação da sociedade. Nesse sentido, o fazer pedagógico é um ato intencional e planejado.

Ao professor cabe desenvolver o trabalho com os conteúdos matemáticos, relacionando-os aos conhecimentos prévios dos alunos, ou seja, orientando para que as ideias e concepções espontâneas sejam superadas de forma que o conhecimento elaborado cientificamente faça parte do repertório da escolarização.

No entanto, a Educação Infantil tem sua especificidade relacionada ao período de desenvolvimento das crianças no processo de apropriação da cultura humana. Assim, compreende-se que o objeto de estudo da Matemática e os seus conceitos destacados no Ensino Fundamental são os mesmos na Educação Infantil, a mudança estará na forma de organização do ensino, considerando a particularidade do sujeito de aprendizagem e desenvolvimento na primeira infância (0 a 3 anos) e infância (4 e 5 anos).

Desse modo, para trabalhar os conteúdos do componente curricular de Matemática, é fundamental a reflexão sobre a organização do ensino na Educação Infantil em consonância com o estudo das especificidades do desenvolvimento psíquico na infância. Partindo dessa compreensão, o professor deve propor aos alunos tarefas de ensino capazes de mobilizar ações individuais e coletivas que considerem, ao mesmo tempo, o movimento lógico e histórico dos conceitos que se pretende ensinar. Isto é, pensar em tarefas que permitam às crianças agirem sobre o objeto da Matemática: o controle do movimento das diferentes grandezas.

Vigotski (2001) alerta que: “[...] o nascimento do conceito científico não se inicia com o enfrentamento direto das coisas, mas com a atitude mediada até o objeto” (VIGOTSKI, 2001, p. 252, tradução nossa). Para o autor, “[...] a vida material do homem está ‘mediada’ pelos instrumentos e, da mesma maneira, também sua atividade psicológica está ‘mediada’ pelo produto de ligações da vida social, das quais a mais importante é a linguagem” (VIGOTSKI, 2001, p. 8, tradução nossa⁶). Dessa forma, o ensino precisa desenvolver ações que mobilizem a atividade mental dos alunos e que direcionem a sua ação para a essência do conceito, isto é, que propiciem a tomada de consciência dos conceitos pelos sujeitos. Isso significa que o ensino não pode ser direto, de forma pronta e acabada.

É fundamental destacar que o aspecto central para a organização do ensino advindo dos estudos de Vigotski é: Como os conceitos científicos se desenvolvem na mente de um aluno em processo de ensino e aprendizagem? Essa questão revela uma importante relação de interdependência entre sujeito da aprendizagem, conteúdo do ensino e a forma de organizar o ensino. Essa tríade é basilar no processo de organização do ensino dos diferentes componentes curriculares. Pode-se detalhar essa tríade da seguinte forma: conteúdo (Quais conteúdos são essenciais para o seu processo de humanização?); forma (Qual a forma mais adequada de ensinar, de modo que os sujeitos aprendam e desenvolvam suas funções psíquicas?); sujeito (Quem é o sujeito da aprendizagem? Como ele aprende?).

Algumas questões são fundamentais a serem feitas pelos professores na organização do ensino: Quem são as crianças que frequentam as instituições de Educação Infantil? Como elas aprendem? Como ocorre a apropriação dos conceitos matemáticos neste período dadas as especificidades do desenvolvimento do psiquismo infantil? Nos estudos da Teoria Histórico-Cultural, preconiza-se que o sujeito, no processo de apropriação da cultura humana e no desenvolvimento, realiza importantes atividades responsáveis pelas novas mudanças no seu psiquismo, denominadas de atividades principais, aquelas que guiam o desenvolvimento da criança. Na Educação Infantil, apresentam-se as seguintes atividades principais: Comunicação Emocional Direta (primeiro ano de vida); Objetal-Manipulatória (primeira infância) e a Brincadeira de Papéis Sociais (infância).

Para pensar na questão dos conteúdos da Educação Infantil, é importante compreender o processo de formação do conceito pela criança. A Teoria Histórico-Cultural preconiza que os conceitos científicos são formados pelos sujeitos nas condições de ensino e aprendizagem sistematizada — educação escolar, em uma forma de cooperação do professor com a criança, ou seja, são produtos das condições de ensino e devem ser desenvolvidos a partir de um sistema de conceitos. Essa relação de sistema de conceitos deve ser compreendida no movimento lógico-histórico de sua produção, em que se revela a sua essência, isto é, a relação geral que há entre eles. Para que os conceitos inferiores generalizem a um nível superior, é necessário que os alunos compreendam os nexos conceituais, os quais “[...] fundamentam os conceitos contêm a lógica, a história, as abstrações, as formalizações do pensar humano no processo de constituir-se humano pelo conhecimento” (SOUSA, 2014, p. 66). Assim, a opção por apresentar os conteúdos dessa forma tem como objetivo que o ensino seja organizado a partir dos diferentes conceitos matemáticos, de modo que os alunos se apropriem deles e desenvolvam seu pensamento teórico.

Ressalta-se que o movimento no ensino e na aprendizagem entre os eixos estruturantes matemáticos ocorre se for considerada a dimensão lógico-histórica entre seus nexos conceituais, visto que por meio dessa dimensão é que os sujeitos têm a possibilidade de dominar a relação geral entre os conceitos (essência). Essa forma de organização tentou superar um currículo que hierarquiza, fragmenta em esquemas estáticos os conceitos científicos. É preciso que o aluno compreenda esses conceitos em movimento no controle da variação das diferentes grandezas. Contudo, para o professor compreender esses eixos e nexos em movimento, ele precisa compreender o que significa de fato ensinar um conteúdo com base no sistema de conceitos, possibilitando o processo que dará início à formação do pensamento teórico pelos alunos; caso contrário, ele fragmentará os conceitos, transformando-os em definições e procedimentos prontos.

Esse sistema evidencia as relações existentes entre conceitos espontâneos e científicos. Assim, “a sua apreensão [...] pressupõe um tecido conceitual já amplamente elaborado e desenvolvido por meio da atividade espontânea do pensamento infantil” (VIGOTSKI, 2000, p. 269). Portanto, pode-se afirmar que os conceitos científicos superam os conhecimentos espontâneos desde que haja o processo educacional.

Ao se apropriar dos conceitos científicos, há uma mudança qualitativa do pensamento da criança, até alcançar o nível de voluntariedade. Conforme as palavras de Vigotski (2000), “[…] o conceito não é simplesmente um conjunto de conexões associativas que se assimila com a ajuda da memória, não é um hábito mental automático, mas um autêntico e completo ato do pensamento” (VIGOTSKI, 2000, p. 181, grifos nossos).

Diferentemente dos conceitos espontâneos, os científicos são desenvolvidos a partir de procedimentos analíticos e não pela experiência imediata. Esses conceitos são adquiridos por meio do processo da instrução (ensino e aprendizagem), requerendo atos de pensamento inteiramente diversos, associados ao livre intercâmbio no sistema de conceitos, à generalização de generalizações, enfim, a uma operação consciente e arbitrária com os conceitos espontâneos.

No caso da Educação Infantil, é importante ampliar os conceitos espontâneos das crianças e a compreensão da função simbólica dos signos produzidos pela humanidade. Faz-se essa ressalva para compreender que o conceito científico é formado na relação de interdependência com os conceitos espontâneos. Vigotski (2000) comprovou em seus experimentos que “[...] o desenvolvimento dos conceitos espontâneos e científicos são processos intimamente interligados, que exercem influências um sobre o outro” (VIGOTSKI, 2000, p. 261).

No que compete à organização do ensino, a Teoria Histórico-Cultural compreende o conceito de atividade como fundamental no processo de organização do ensino, visto que a atividade pedagógica é uma especial atividade humana. Para Leontiev (2001, p. 68), atividades são “[...] apenas aqueles processos que, realizando as relações do homem com o mundo, satisfazem uma necessidade especial correspondente a ele” (LEONTIEV, 2001, p. 68). A atividade é dirigida por um motivo e esse mobiliza o sujeito a executar ações que possibilitam a satisfação da sua necessidade.

O ensino planejado e intencional é fundamental desde os primeiros anos de vida da criança que ingressa nas instituições de ensino, com possibilidades educativas que visem o desenvolvimento psíquico do sujeito por meio de atividades adequadas à Educação Infantil. De acordo com a Concepção Histórico-Cultural, a sistematização do conhecimento científico se efetiva pelo papel do professor em intervir nos conhecimentos que a criança já tem, apresentados por meio da linguagem e criando necessidades de se apropriar de novos conhecimentos, isto é, na relação de não domínio que deve ser a atuação do professor, consolidando novas zonas de desenvolvimento.

Os primeiros contatos com as relações matemáticas ocorrem nas situações cotidianas das crianças. Nas instituições de Educação Infantil, o ensino intencional e sistematizado ampliará as suas experiências. Para isso, o professor deve proporcionar condições aos alunos para apreensão dos conceitos matemáticos articulados com a atividade principal em que se encontra a criança, por exemplo, quando o professor, por meio da linguagem, verbaliza para o aluno as diferentes ações a serem realizadas, antecipando a apropriação das bases dos conceitos matemáticos.

Ao verbalizar essas ações, o professor produz no aluno a curiosidade frente aos conteúdos matemáticos a serem trabalhados, dessa forma, cabe ao professor aproveitar inclusive os momentos de rotina, pois, compreende-se que, na Educação Infantil, todas as ações são pedagógicas, como a acolhida, a higiene, a alimentação, a hora do descanso e a despedida. As atividades sistematizadas que ocorrem no ambiente escolar, sejam elas apresentadas por meio de jogos, brincadeiras, músicas e desenhos, favorecem diretamente a criança, propiciando experiências sensoriais, com vistas a desenvolver a linguagem verbal e os conceitos matemáticos.

A necessidade de comunicação da criança é desenvolvida a partir da interação com os adultos. Segundo Lisina (1987), sendo necessário transformar as impressões sensoriais do bebê em expressões verbais, para a promoção do desenvolvimento psíquico. Neste processo, é fundamental que o bebê seja sujeito e não apenas objeto das ações do adulto. Portanto, salienta-se a importância da utilização de objetos, de figuras, de imagens, de diferentes texturas, explorando os órgãos dos sentidos. Ressalta-se, ainda, a relevância desses materiais estarem ao alcance das crianças, ou seja, no seu campo visual.

Toda ação do professor deve perpassar por condições de ensino adequadas, a fim de garantir as conquistas por parte dos alunos, por meio da ação antecipadora do adulto, e, gradativamente, promover as condições necessárias do desenvolvimento psíquico para ingressar na atividade objetal-manipulatória, uma vez que a gênese dessa atividade está na qualidade da organização do ensino da atividade comunicação emocional direta. Nesse período do desenvolvimento do psiquismo infantil (primeira infância), os objetos passam a ser os instrumentos culturais que farão a mediação da criança com o mundo e com a cultura humana. É nessa etapa que o ensino deverá potencializar ações de execução, de manipulação e de exploração de objetos, oportunizando à criança a ampliação de suas ações. Para Mukhina (1996), “[...] na manipulação objetal surgem e se resolvem situações problemáticas elementares. Por conseguinte, a criança aprende a pensar nas ações, imitando seus próprios movimentos e também alheios” (MUKHINA, 1996, p. 49).

Nesse contexto, a criança avança em suas percepções e leitura de mundo. Não tendo mais a necessidade de observar visualmente o objeto, ela passa a formular o seu pensamento e, por meio dele, resolve situações problemas com a substituição de um objeto por outro, por exemplo: usa uma régua para pentear os cabelos. Esse desenvolvimento dos alunos vai depender diretamente das ações e das possibilidades oferecidas pelo professor, dando sequência ao seu desenvolvimento, e novas conquistas serão oportunizadas para o desenvolvimento do pensamento matemático. Como destacam Lazzaretti, Magalhães e Eidt (2017),

É na ação manipulatória dos objetos, portanto, que se encontra a gênese da brincadeira de papéis sociais, na idade pré-escolar, sendo aproximadamente entre três e seis anos. Essas brincadeiras não são estanques e nem tampouco desaparecem em detrimento da atividade anterior, mas se alavancam no decorrer desse processo.

No período do Infantil IV e V, pela própria aprendizagem de manipular objetos, amplia-se o desenvolvimento sensorial do aluno, aperfeiçoando a sua orientação no espaço e no tempo. A brincadeira de papéis sociais põe em funcionamento toda uma complexidade de funções psíquicas, visto que as situações lúdicas necessitam da memória, da atenção, da imaginação, do pensamento em funcionamento para que as crianças atuem sobre os objetos. A brincadeira é a atividade principal do desenvolvimento do psiquismo, bem como um recurso didático para o trabalho pedagógico nos diversos componentes. Nessa direção, o trabalho pedagógico deve:

Para apropriação dos conceitos matemáticos, é fundamental que as crianças desenvolvam diferentes operações/processos mentais, tais como: correspondência, comparação, classificação, sequenciação, seriação, inclusão e conservação. Lorenzato (2006) sintetizou tais aspectos no quadro a seguir:

As operações/os processos mentais descritas(os) no quadro não estão restritos aos conhecimentos matemáticos, uma vez que são base para apropriação dos diferentes conceitos e para a formação das funções psicológicas superiores, ou seja, das capacidades intelectivas.

Ao professor cabe iniciar o trabalho com a linguagem matemática, explorando os conteúdos como mediadores do processo de aprendizagem, intervindo para que os conceitos sejam gradativamente apreendidos de forma que o conhecimento elaborado cientificamente venha a fazer parte do repertório da escolarização do aluno, desde a mais tenra idade. Os conteúdos matemáticos estão presentes nas relações das crianças com a prática social e esses devem ser sistematizados de forma a garantir a apropriação das bases dos conceitos matemáticos. De acordo com Arrais et al. (2017),

Considera-se que as relações entre as diferentes grandezas são fundamentais serem trabalhadas com as crianças da Educação Infantil, de forma a criar necessidade de comparar, de classificar, de associar, de analisar e de sintetizar as diferentes relações quantitativas presentes nas práticas sociais. Destaca-se, a esse respeito, que o objeto de estudo da matemática — “controle do movimento de variações das diferentes grandezas” — está presente no trabalho pedagógico desde a Educação Infantil.

Para o trabalho com o objeto de estudo da Matemática, seus conteúdos estão divididos, didaticamente, neste Currículo, em quatro eixos: Números e Álgebra – das quantidades que sustentará o estudo da aritmética e das relações matemáticas com símbolos, ideias de padrões e regularidades; Grandezas e Medidas – das comparações visuais e diretas à quantificação das suas diferentes medidas, entre dois objetos para o controle das grandezas; Geometria – das formas, apresentando questões que propiciem o desenvolvimento da percepção espacial; e Estatística e Probabilidade – que favorece o pensamento probabilístico, combinatório e as primeiras ideias gráficas de apresentação das informações.

O conhecimento matemático nessa faixa etária se manifesta pela linguagem oral. Ao se apropriar da linguagem, produto do desenvolvimento sócio-histórico, as crianças aprendem os significados das palavras para analisar, generalizar e codificar suas experiências, colaborando no desenvolvimento do pensamento matemático.

Para garantir a dinamicidade dos conteúdos, esses devem estar articulados entre si e serem trabalhados, proporcionando que a totalidade seja atingida entre os quatro eixos, de modo a favorecer, com isso, um ensino em espiral. Por exemplo, o eixo das “Grandezas e Medidas” deve ser tomado como articulador do trabalho matemático quando: comparam-se duas quantidades, mede-se uma região limitada do espaço, se constroem gráficos, entre outros. Os conteúdos devem ser trabalhados gradativamente, ressaltando que conceitos vistos anteriormente devem ser retomados, não apenas como repetição do que já foi estudado, mas como forma de ampliação do campo de estudo.

A criança, desde a mais tenra idade, é motivada a realizar contagens, que, no primeiro momento, podem ser aleatórias e sem significados. Por exemplo, as cantigas que os familiares e professores apresentam às crianças com o nome dos numerais, como as músicas: “A galinha do vizinho bota ovo amarelinho. Bota 1, bota 2 [...]; 1, 2, 3 indiozinhos, 4, 5, 6 indiozinhos [...]; 5 patinhos foram passear, além das montanhas [...]”. No entanto, a contagem direta e sequenciada não indica que a criança apropriou o conceito de número e as suas relações quantitativas.

Quando a criança controla as quantidades de objetos ou as suas grandezas, ela se ampara no senso numérico, ou seja, mesmo que, naquele momento, ainda não reconheça os símbolos ou mesmo que não tenha apropriado o conceito de quantidade, ela reconhece que existem formas de quantificar os objetos e que a contagem, por exemplo, é um caminho para quantificação.

Ao ingressar na Educação Infantil, a criança percorre um longo caminho de apropriação do conceito dos números e do emprego dos signos numéricos, aprendendo a: estabelecer relações de agrupamentos seguindo critérios estabelecidos; fazer relações entre as diferentes quantidades; identificar os símbolos utilizados para fazer os registros das quantidades; contar tudo o que pode e começa a olhar para os números que estão presentes no seu dia a dia de outra forma; perceber a inclusão de classes (a classe do três inclui a do dois, a do um, ao mesmo tempo em que está incluída na do quatro, na do cinco, e assim por diante); operar com essas quantidades de diferentes formas; medir e registrar essas medidas, apropriando-se dos diferentes movimentos quantitativos (operações matemáticas). Esse processo de apropriação dos conceitos só ocorre por meio de ações pedagógicas sistematizadas, intencionais e deliberadas.

O movimento do trabalho com as quantidades deve ocorrer de forma lúdica, propor aos alunos situações de ensino de modo que vivenciem as relações quantitativas, conforme pode se observar nas imagens abaixo:

De acordo com estudos realizados por Galperin (1987), ao apresentar às crianças conjuntos de objetos (de 5 a 10, por exemplo), elas começam a comparar as quantidades entre si (para isso não é necessário que a criança saiba contar, mas ela precisa ter desenvolvido o senso numérico) e perceber que em determinadas situações é possível formar conjuntos/grupos com a mesma quantidade e em outras situações não é possível. Assim, submetidos a processos sistematizados de aprendizagem, os alunos vão percebendo que só agrupar, muitas vezes, não é suficiente; é preciso também quantificar, operar e registrar para que se tenha uma ideia clara sobre a contagem.

Dessa forma, gradativamente, por meio da realização de diferentes atividades de controle de grandezas, as crianças compreendem o processo histórico de criação dos instrumentos simbólicos matemáticos, que permitem pensar sobre o número como: calendário, termômetro, relógio, celular, entre outros, para o controle de diferentes quantidades, grandezas e formas, os quais são resultados das necessidades humanas e do desenvolvimento do conhecimento que a humanidade produziu e produz para satisfazê-las.

A formação do conceito de número vai além da simples contagem, trata-se de uma relação abstrata entre signo e relações quantitativas, envolve o desenvolvimento de processos mentais na criança, os quais não dizem respeito aos conteúdos, mas sim ao desenvolvimento psíquico, o que possibilitará apropriar-se dos diferentes conceitos que constituem o número, tais como: senso numérico, correspondência biunívoca, sequência numérica, ordinalidade, cardinalidade e os signos.

Antes dos doze meses, a criança desenvolve as condições para perceber um, dois e muitos objetos, isto é, seu senso numérico⁷ está em desenvolvimento, não estabelecendo diferença entre os números e a coleção da qual eles fazem parte. Com a aquisição da fala, por volta dos dois anos, a criança aprende a nomear os primeiros números e, gradativamente, verbaliza a sequência numérica. Às vezes conta um, dois, quatro e assim vai alternando a contagem sem obter uma linearidade. Arrais et al. (2017) fazem uma ressalva:

Uma sugestão de trabalho com os bebês, a ser realizada pelo professor, é a contação de histórias infantis. Nesse momento, pode-se utilizar a obra Meus porquinhos de Audrey Wood. Essa história possibilita ao professor desenvolver ações envolvendo as variações de grandezas matemáticas e relacioná-las ao senso numérico. Todavia, é importante que o docente organize o material para contação da história de modo que os bebês possam explorar diversas sensações, tais como: sons, texturas, tamanho, volume, cheiros, entre outros.

No enredo da história, os porquinhos surgem de dois em dois, todos com características diferentes; além disso, apresentam diversas sensações durante a narrativa. Nessa perspectiva, propõe-se que a contação da história seja realizada pelo professor usando seus dedos das mãos e que, a partir do momento em que se apresentam as sensações, possibilite aos alunos senti-las. A título de exemplo, no trecho da história em que se lê “... Às vezes, os porquinhos sentem muito calor;...”, é possível molhar as mãos das crianças com um borrifador de água, e o mesmo pode ser feito em outras situações. Salienta-se que a escolha da história é um ato intencional do professor, mas somente contá-la não favorece o desenvolvimento das sensações e percepções do bebê. Conforme asseveram Lima, Valiengo e Ribeiro (2014),

No caso da história sugerida, o professor pode permitir que os bebês experimentem cada sensação apresentada na narrativa, apresentando às crianças o livro e as imagens; posteriormente, podem confeccionar os porquinhos com material reciclável (garrafa pet). Feito isso, a intervenção didática seguinte será explorar o senso numérico a percepção de um para muitos, momento no qual o professor apresenta os porquinhos confeccionados e permite a manipulação. A partir da comunicação do professor com o bebê, ele apresenta um porquinho, depois vários porquinhos, estabelecendo, gradativamente, a percepção de um para muitos.

Outra situação com o mesmo objetivo é apresentar a canção popular infantil João trabalha com um Martelo: “João trabalha com 1 martelo: (repete 1 vez). João trabalha com 2 martelos: (repete 2 vezes) João trabalha com 3 martelos: (repete 3 vezes). João trabalha com 4 martelos: (repete 4 vezes). João trabalha com 5 martelos: (repete 5 vezes). Agora vai descansar….”. O professor pode dramatizar a música com os bebês, realizando os gestos com os martelos de brinquedo. Depois disso, devem ter acesso aos martelos para manipular e o professor, oralmente, estabelece as relações: um, dois, muitos martelos.

Conforme argumenta Ifrah (1989), “A contagem não é uma aptidão natural. A contagem é, com efeito, um fenômeno mental, complicado, intimamente ligado ao desenvolvimento da inteligência” (IFRAH, 1989, p. 44). Por isso, quando a criança repete uma sequência numérica, essa ação não garante que ela tenha interiorizado o conceito do número, mas ele se forma por um processo mental psíquico, por meio de estímulos artificiais como os signos que, em um primeiro momento, agem externamente e vão produzindo gradativamente novas conexões no cérebro, conformando-se em um processo psicológico de interiorização.

Assim sendo, no controle de quantidades das grandezas discretas, é importante desenvolver atividades que abarquem o movimento histórico de produção do conceito de número, até a sua sistematização de forma abstrata (formado pelos 10 algarismos do sistema de numeração decimal).

Com as crianças de três anos em diante, é possível desenvolver, por meio de jogos e histórias, situações-problema que contenham o movimento lógico-histórico do numeral objeto⁸ até o numeral abstrato, com o objetivo de não trabalhar com o controle de quantidade da forma atual, o sistema de numeração decimal. É importante criar a necessidade histórica de produção dessa forma tão avançada e sintetizada de controle de quantidades produzida pela humanidade. De acordo com Moraes (2010),

O ensino de Matemática que objetiva formar nos alunos o pensamento teórico tem que dar conta do movimento histórico de produção dos conceitos. Esse aspecto é essencial para a organização do ensino.

Para exemplificar o movimento histórico da produção do conceito de número no Infantil V, propõe-se o trabalho com a história A caixa maluca, de Flávia Muniz, que retrata a confusão ocorrida na mata, após ter aparecido uma caixa; todos os animais ficam curiosos para saber o que tem dentro dela e quem seria o seu dono. Para iniciar a atividade, o professor pode dar pistas do que será lido, despertando a atenção do aluno para o texto: “A caixa maluca será disputada por vários personagens, fiquem atentos aos motivos que cada um apresenta para ficar com a caixa”. Sugere-se a seguinte situação desencadeadora de aprendizagem: Na história apresentam-se três possíveis donos da caixa. Quais são eles? (sapo, jacaré e leão). Quem você acha que devia ficar com a caixa? Além disso, o docente pode propor que seja realizada uma votação na turma para eleger um dono para a caixa. Nesse caso, pode-se apresentar a seguinte situação: Combinar com os alunos que como na mata os animais não sabem ler nem escrever que o voto seja representado por meio de cartões de cores diferentes para cada animal. Depois da escolha das cores, o professor procede com a votação (neste momento pode-se explorar na oralidade como se dá o processo eleitoral). Para a apuração dos votos, deve-se dialogar com os alunos e pedir que observem os votos, questionar: como fazer para saber quem ganhou a eleição? Como os animais não sabem contar, como eles poderiam fazer para saber quem ganhou mais votos? (Levar os alunos a perceber que para isso terão que separar (classificar) os votos por cores, ordená-los em sequência e depois realizar a comparação termo a termo (correspondência biunívoca), para perceber qual o animal que recebeu mais votos). Após, questionar: Como comunicar a quantidade de votos de cada animal? Ao questionar os alunos, o professor deve levá-los a compreender a importância da invenção dos símbolos que indicam as quantidades. Dessa forma, gradativamente, o aluno compreenderá o movimento histórico da produção do conceito de número.⁹

A partir dos três anos, quando a criança apresenta um grande avanço das habilidades motoras, intelectuais e sociais, ampliam-se também as possibilidades do campo numérico. Salienta-se que o jogo de regras e o jogo de papéis são diferentes, mas apresentam semelhanças, uma vez que a criança, ao participar de situações estabelecidas nas relações sociais, por meio do imaginário, vivencia implicitamente a regra de um determinado papel. Por exemplo, quando a criança brinca de mamãe, há regras implícitas que são estabelecidas na conduta da vida real. Elkonin (1998) explicita que:

Nesse período, são inúmeros os jogos que favorecem o trabalho com os primeiros conceitos matemáticos: pega-varetas (classificação, contagem, operações), tangram (classificação, formas das figuras geométricas, contagem), trilha (possibilidades, adição, alinhamento vertical e horizontal), memória (localização, contagem de números pares), dominó (igualdade numérica, possibilidades), entre outros. Ressalta-se que os jogos devem ser empregados no sentido de articular com os processos de ensino e de aprendizagem e, ao se trabalhar com eles, deve-se respeitar o período de desenvolvimento do aluno. No caso da Educação Infantil, é importante, primeiramente, permitir que os alunos explorem os jogos e criem as regras conforme as suas necessidades; o professor gradativamente vai inserindo as regras do jogo. Desse modo, os jogos de regras articulados à atividade principal da criança, que são os jogos de papéis sociais, estarão em uma relação de interdependência.

As operações aritméticas fundamentais, também, são conteúdos na Educação Infantil, pois as crianças, desde o momento em que começam os seus círculos de interação social com outras crianças, ou mesmo com os familiares, são capazes de controlar quantidades considerando os principais movimentos quantitativos criados pela humanidade. É comum, em suas brincadeiras, repartirem entre si balas ou outros objetos quaisquer, juntarem ou agruparem brinquedos, entre outras ações que praticam brincando. No entanto, aquilo que é espontâneo para a criança deve ser intencional para o professor nas suas ações de ensino.

Destaca-se que os principais movimentos quantitativos criados pela humanidade são: adição (juntar, acrescentar); subtração (retirar, completar e comparar); multiplicação (agrupar, adição de parcelas iguais, combinação) e divisão (repartir). Convém observar que nesse período é importante explorar as ideias das operações na oralidade e com objetos. Para isso, o professor deve utilizar de diferentes recursos: as brincadeiras, os jogos de mesa, os materiais manipuláveis, bem como utilizar o próprio corpo da criança para desenvolver essas ideias.

Todavia, com o avanço no desenvolvimento psíquico da criança e nos processos de ensino e aprendizagem, faz-se necessária a representação gráfica, por meio de desenhos das quantidades, criação de símbolos que representam as quantidades e a escrita dos números como se conhece atualmente. O trabalho com os conceitos matemáticos não se inicia da síntese já elaborada pela humanidade para o controle de quantidade, mas da necessidade histórica de produção desse conceito, visto que essa é uma forma de possibilitar à criança a apropriação conceitual. Conforme destaca Lanner de Moura (2007),

Essa forma de trabalhar com o movimento conceitual do número, destacado pela autora, deve ser referência para o trabalho com as operações aritméticas. Assim, além do conceito de correspondência biunívoca que foi destacado no trabalho com a história Caixa Maluca, também é possível trabalhar com os conceitos das operações aritméticas, incluindo as diferentes ideias de cada operação.

Ao propor a situação-problema, conforme descrito, possibilita-se uma forma de desencadear a necessidade dos alunos controlarem e pensarem sobre a quantidade, desenvolvendo o conceito de correspondência um a um e sua forma de registrar. É possível também simular com os alunos situações-problemas, nas quais deverão perceber a ausência ou o acréscimo de quantidades: Como verificar se todos votaram na eleição realizada para saber com quem ficaria a caixa? O professor pode colocar menos votos na caixa, portanto, sobrando alunos sem votos ou acrescentar votos na caixa, sobrando votos sem alunos.

O importante é que a situação-problema mobilize o pensamento dos alunos e com isso realizem operações para resolvê-la com a intervenção do professor. Essa resolução ocorre de forma eficiente e matematicamente correta observando os conceitos envolvidos. Apresentou-se apenas uma possibilidade de trabalho com um dos conceitos que compõem o sistema de numeração — correspondência biunívoca — por meio de uma história, criando situações em que o aluno possa contar, comparar e formular hipóteses para resolução de problemas; o professor pode ampliar esse repertório de trabalho.

O trabalho com álgebra, outro conteúdo de ensino, na Educação Infantil não pode ser confundido com a inserção de letras ou mesmo equações; na realidade, o que se pretende desenvolver é o pensamento algébrico, levando as crianças da observação de padrões e regularidades a generalizações presentes nos objetos e fenômenos da natureza.

Observa-se nas imagens a seguir o trabalho com o pensamento algébrico, por meio de atividades lúdicas que envolvem a observação, a classificação e a generalização de padrões.

Muitos dos conteúdos que compõem o pensamento algébrico, conforme se pode observar nas imagens, já são trabalhados com os alunos: as sequências e as igualdades. Por exemplo: na Educação Infantil, quando o professor entrega blocos lógicos representando as formas geométricas (podem ser da mesma cor e tamanho, mas de formas diferentes), pede que o aluno crie alguma sequência e pense sobre os diferentes critérios utilizados, está trabalhando com propriedades importantes do pensamento algébrico, como classificar e agrupar, utilizando relações matemáticas com símbolos e ideias de padrões.

O professor deve explorar atividades que recorram a materiais diversificados, que incentivem a capacidade de continuar padrões e de lidar com as diferentes propriedades das relações algébricas. A generalização ocorre quando os alunos conseguem determinar que no padrão existe uma unidade de repetição, que se repete de forma cíclica e, utilizando diversos materiais ou formas, conseguem reconhecer a estrutura de um padrão.

Assim, o início desse trabalho pode ser com a noção de sequência, utilizando-se dos blocos lógicos. O professor inicia a sequência com certo padrão e solicita que o aluno o continue. Esses padrões podem ser gradativamente complexificados. Para o trabalho com os padrões, pode-se utilizar diferentes materiais e objetos da natureza.

Outra forma que pode ser explorada são situações-problemas nas quais o aluno observa padrões e verifica quantos e quais são os elementos que faltam na sequência, como exemplificado no quadro 3.

O trabalho com situações-problemas, juntamente com a intervenção do professor, deve conduzir o aluno a perceber a função dos conceitos algébricos, com relação à observação de padrões, de regularidades e de generalizações. Nesse caso, Luna e Souza (2013) argumentam:

É significativo problematizar ludicamente com os alunos situações em que esses devam seguir padrões previamente estabelecidos, assim como é possível observar nas Figuras 7 e 8.

O trabalho com a álgebra se articula com o conceito de número como uma grandeza. Assim, é importante, primeiramente, explorar as relações de igualdade e desigualdade — “igual”, “maior”, “menor” (DAVÍDOV, 1988). Para isso, o professor pode propor para os alunos a comparação de objetos diferentes. Para ilustrar, disponibilizam-se para as crianças duas vasilhas com tamanho e forma diferentes; a partir desses objetos, o professor desenvolve comparações, busca a unidade intermediária, que pode resolver o problema de capacidade entre as duas vasilhas, e a representa algebricamente. Moya (2015) trabalhou com crianças seguindo esse pressuposto; é possível observar algumas imagens das comparações e registros feitos pelas crianças.

A inserção da Álgebra no Currículo, desde a Educação Infantil, tem como objetivo direcionar o trabalho com a Matemática para a formação do pensamento algébrico nas crianças. É pertinente por ser uma forma de organização do pensamento, estruturando para a generalização de situações particulares a ideias gerais.

As grandezas e medidas estão presentes desde a antiguidade até os dias atuais. Conforme a necessidade de medir foi surgindo, o homem passou a descobrir e a elaborar formas para realizar as medições, que estão ligadas ao desenvolvimento das primeiras civilizações que observavam a passagem dos dias e das noites, a posição do Sol, o aspecto físico das fases da Lua que se alternavam, assim como os períodos de plantio e colheitas. Além disso, tiveram a necessidade de expressar numericamente a medição das terras que margeavam os rios que eram fundamentais para a sua sobrevivência.

Da mesma forma que o homem teve necessidade de medir os objetos do seu cotidiano, também precisou medir macros e micros elementos que fazem parte da natureza, como o tamanho da Terra.

Diante disso, algumas perguntas são fundamentais: O que significa grandezas? O que significa medir? Grandezas é tudo aquilo que pode ser medido, ressaltando a qualidade dos objetos. As qualidades dos objetos podem ser: tamanho, cor, luminosidade, intensidade, muito pouco, cheio, vazio, entre outras. A partir dessas qualidades é que as grandezas se diferenciam em discretas e contínuas¹⁰ e, ainda, determinam o instrumento e a unidade de medição. Medir consiste em comparar e quantificar as grandezas; estabelecer uma unidade de medida. Por exemplo: A temperatura registrada em um termômetro é 36,5 ºC.

Para Caraça (1989), medir consiste em “[...] comparar duas grandezas da mesma espécie — dois comprimentos, dois pesos, dois volumes etc.” (CARAÇA, 1989, p. 29). Para isso, o autor defende três aspectos essenciais da medição: a seleção da unidade, a comparação da unidade com a grandeza e a expressão numérica da comparação. Esses aspectos possibilitam ações de representação do espaço, de representação numérica e de grandeza. Assim sendo, deve ocorrer a articulação entre os demais eixos matemáticos: Número e Álgebra; Geometria e Estatística e Probabilidade.

A história sobre a necessidade humana de medir as diferentes grandezas deve fundamentar o trabalho deste eixo em sala de aula (com os alunos maiores, ressalta-se que a padronização das diferentes unidades de medida é uma produção humana; já com os bebês, é preciso gerar a necessidade de medir). As grandezas e medidas são usadas pela sociedade em seu cotidiano: nos supermercados, por exemplo, ao comprar alimentos por quilograma, por litro ou quando se paga a conta. Desde muito cedo, as crianças vivenciam situações em que é necessário medir, por exemplo, quando a criança relata que tem irmão maior ou menor já está realizando comparações de grandezas. O professor, partindo de tais comparações, poderá realizar inferências que a levem a refletir sobre as quantidades, os tamanhos, as formas, entre outras grandezas.

Inicialmente, os grupos humanos utilizavam partes do seu corpo para medir; serviram, desse modo, de instrumentos os pés, as mãos, os passos, os palmos, entre outras partes. Contudo, com o tempo, perceberam que tais maneiras de medir eram imprecisas, diferentes entre os indivíduos, causando confusões e dificultando a comunicação. Com o passar do tempo, a humanidade começou a viver em comunidade, e surgiu a necessidade da criação de novos formatos de medição que permitissem a vida em sociedade e negócios equitativos entre todos e em qualquer lugar. Assim, iniciou-se a procura por padrões de medida nas civilizações.

As formas utilizadas para medir eram diferentes e foram se padronizando, por isso, ao ler uma receita, compreende-se o significado de uma xícara de farinha, uma colher de margarina, uma pitada de sal; ao se medir a distância, sabe-se o que é uma pegada, ao medir a capacidade de um recipiente, reconhece-se, por exemplo, um copo de azeite, meio copo de leite etc.; todavia, essas unidades de medidas não são exatas, pois o tamanho da xícara pode variar, assim como a palma da mão pode ser maior ou menor.

Por serem medidas imprecisas e variáveis e dificultarem o trabalho com o comércio, surgiu a necessidade de padronizar as medidas, assim como desenvolver instrumentos adequados para medi-las. Adotaram-se, desse modo, as unidades de medidas padrão, estipuladas por uma convenção do Sistema Internacional.

Ainda hoje, as medidas não padronizadas continuam sendo utilizadas em receitas culinárias, atividades do dia a dia, como medir uma pequena área com o palmo da mão. Nesse viés, o professor deve trabalhar com os alunos as medidas não padronizadas, de forma que compreendam esses conceitos, apropriando a atividade no cotidiano, levando-os a perceber a necessidade social de padronização dessas medidas que foram se constituindo historicamente, conforme é possível visualizar nas figuras:

Medir é um conceito abrangente, pois pode quantificar diferentes grandezas, tais como: distância, massa, temperatura, tempo, valor, entre outras. Ainda, é necessário considerar que as grandezas variam dependendo essencialmente do que será medido, qual sua qualidade: tamanho, espaço que ocupa, quente ou frio¹¹.

Considerando que cada conceito tem uma variação, também é necessário um instrumento que auxilie na medição. Por exemplo, para medir a massa de determinado objeto utiliza-se uma balança; para medir a temperatura, usa-se o termômetro; e para medir a duração do tempo, há o relógio.

Ademais, as medidas podem ser estabelecidas de modo indireto e de forma prática. Lorenzato (2008) afirma que os instrumentos são mais frequentemente utilizados com medidas quantitativas, mas às vezes surgem as qualitativas e prováveis. Nesse sentido, as medidas e grandezas são um conhecimento matemático amplo e complexo¹², e o seu ensino deve ser planejado cuidadosamente pelo professor.

Compreende-se que medir é comparar grandezas. Conforme destacam Toledo e Toledo (2010), “Pode-se afirmar que medir é comparar grandezas de mesma espécie, sendo o resultado de cada medição expresso por um número e por uma unidade de medida” (TOLEDO; TOLEDO, 2010, p. 286). Nesse sentido, o medir depende essencialmente de qual grandeza será quantificada. Assim, cabe ao professor ensinar e exemplificar para o aluno que é necessário realizar a escolha da unidade de medida adequada ao que se quer medir, de forma que perceba que não é prático medir a distância de uma cidade com palmos, ou medir a massa de um vaso de flor em toneladas.

Ao escolher como medir determinada grandeza, a unidade deve ser de conhecimento de todos; para pesar um saco de farinha, por exemplo, utiliza-se a unidade de medida padrão quilograma, pois, se disser que esse saco pesa 20, mas não especificar a unidade padrão adotada, não é possível compreender qual o peso real, se pesa muito ou pouco, pois podem ser 20 gramas ou 20 quilos.

Para maior compreensão da organização do ensino das relações entre grandezas e medidas nas diferentes turmas da Educação Infantil, o quadro a seguir, baseado em Lorenzato (2008), pode auxiliar:

Desde o seu nascimento, a criança se depara com momentos que envolvem conceitos como quente, frio, perto, longe, pesado, leve. Lorenzato (2008) ressalta que esses conceitos antecedem o ato de medir e são fundamentais para a realização da medição (quantificação da grandeza). O autor continua:

Desse modo, o professor, ao realizar atividades que abarquem esses conceitos, deve intervir de forma que seu aluno desenvolva a necessidade de medir os objetos, faça comparações e chegue à unidade de medida padrão.

No Infantil e Infantil I, o professor deverá oportunizar atividades que estimulem a percepção tátil, visual e gustativa, pois esses sentidos auxiliam no desenvolvimento de conceitos de grandeza como: temperatura (quente, frio), comprimento (grande, pequeno), distância (perto, longe), entre outras.

Uma sugestão de encaminhamento a ser desenvolvido é trazer para sala de aula alimentos que são consumidos quentes ou frios, adequados ao aluno, permitindo com que ele tenha contato com esses, que toquem no recipiente que está o alimento, percebendo a sua temperatura. Em seguida, o professor pode servir os alimentos para que os alunos provem, sentindo também a sua temperatura. Após terem contato com o alimento quente, o professor explica que agora provarão o alimento frio, por exemplo, frutas geladas.

Essa mesma atividade pode ser realizada no Infantil II, momento no qual o professor pode levar os alunos ao refeitório ou à cozinha, apresentando-lhes como os alimentos são preparados: no fogão, os alimentos quentes, e os frios, na maioria das vezes, necessitam do uso da geladeira; com isso, o professor associa a função dos objetos (alimentos) aos conceitos de quente e frio. Nas turmas de Infantil III, esse encaminhamento poderá ser ampliado, com a confecção de um cartaz com imagens de alimentos quentes e frios, realizando a correspondência com sua forma de preparação.

A criança adquire gradativamente, por meio do ensino sistematizado, a ideia de tempo, compreendendo a noção de sucessão de fatos ou de acontecimentos relativos à sua vivência imediata. Assim, o professor deve utilizar diversos recursos: visuais (cartazes ilustrativos), auditivos (músicas) e orais (falando sempre o que fará). Esses recursos são utilizados na rotina para a recepção dos alunos no horário de entrada, no horário do café, antes do almoço, na hora do descanso, durante o lanche e na hora da higienização, a qual permeia todas as ações da criança no decorrer do dia. Todos esses recursos podem ser utilizados como marcadores de tempo e facilitarão a compreensão desse conceito.

No Infantil V, pode ser oportunizado aos alunos o registro do tempo por meio de desenhos e de recortes, marcando com figuras atividades de rotina, por exemplo, a representação dos períodos do dia: manhã — tarde — noite, fazendo relatório oral da semana, preenchendo com figuras ou desenhos o calendário do mês. As Figuras 15, 16 e 17 mostram os alunos sob a orientação do professor registrando os ajudantes do dia no decorrer de uma semana; para isso, foram utilizados balões para que os alunos percebessem os dias que já se passaram e posteriormente mostrou o calendário em sua totalidade.

As ideias de tempo estão relacionadas às noções de espaço (longe, alto, fora, debaixo, atrás, entre outras). Ao propor ações tais como brincar e passear, podem ser feitas as seguintes perguntas: “Quando?” — essa questão remete a situações de tempo — e “Onde?” — que se refere ao espaço — (LORENZATO, 2006). Ao explorar as ideias de tempo, é necessário esclarecer a dualidade de significado dos termos “antes” e “depois”, considerando que, dependendo do contexto em que aparecem, podem ter significados diferentes: Vou estudar “antes” do almoço (tempo); Carlos está “antes” de Maria na fila (posição).

O trabalho com medida de valor deve oportunizar aos alunos o contato com situações que envolvam ideias monetárias relacionadas à compra, à venda e à necessidade do uso do dinheiro como padronização, bem como à sua utilização para fazer trocas, comparar valores e resolver situações-problemas.

Desde a Educação Infantil, o trabalho sistematizado perpassa pelas principais grandezas necessárias nas práticas sociais: comprimento, capacidade, volume, massa, tempo, temperatura e valor. Essas devem ser contextualizadas historicamente, levando o aluno a compreender a necessidade social da padronização das suas respectivas unidades de medidas, valorizando os conhecimentos prévios que a criança traz do seu cotidiano e intervindo por meio de situações de aprendizagem que conduzam tal processo, de maneira gradativa, à apropriação dos conhecimentos científicos. Nessa perspectiva, Giardinetto (2010) destaca: “[...] a importância da apropriação dos conhecimentos científicos e das demais objetivações para si está em ser instrumento para cada indivíduo ter uma reflexão sobre os fenômenos que povoam sua vida cotidiana para além da mera opinião ou experiência de vida” (GIARDINETTO, 2010, p. 763).

Para a ampliação da atividade Brincadeira de Papéis Sociais, a intervenção do professor constitui papel preponderante na apropriação da base conceitual dos alunos. Nas imagens a seguir, é possível observar a organização de diferentes espaços que permitem os alunos vivenciar diferentes situações e ampliar conceitos básicos de valor (barato/caro, necessário/desnecessário), reconhecendo o uso desses conceitos nas relações sociais, envolvendo ideias monetárias (compra e venda).

Os conceitos do eixo Grandezas e Medidas estão diretamente ligados às práticas sociais das mais diversas culturas, portanto, esse conteúdo se articula às demais áreas do conhecimento. O fundamental nesse eixo é criar nos alunos a necessidade de medir, de comparar as diferentes relações quantitativas presentes nos objetos, de eleger os instrumentos adequados, dependendo da grandeza a ser medida e, ainda, de estabelecer a unidade padrão necessária para as medições.

O ser humano, em seu incessante processo de adaptação da natureza para si, lida com conhecimentos geométricos, tanto para sua fixação no espaço quanto na produção dos instrumentos. A complexa fabricação dos instrumentos é prova desse fato. Por exemplo, a produção de algo cortante que se assemelha à machadinha exige que ele se relacione com as diferentes grandezas e formas: o tamanho e a qualidade da pedra. Diante disso, afirma-se que os conceitos geométricos são inerentes ao processo de humanização. De acordo com Moura et al. (2017),

Nessa mesma direção, Lanner de Moura (2004) defende que a compreensão do espaço pelo homem é tão remota quanto a sua fixação na terra, visto que, para sobreviver, necessitou, por exemplo, construir abrigos. Essa necessidade colocou o ser humano no processo de produção dos instrumentos e de conhecimentos, os quais foram sistematizados posteriormente em forma de conhecimentos matemáticos.

O termo “Geometria” vem do grego geometrein, que significa medição da terra (geo = terra, metrein = medição). Geometria significa medida da terra. Assim, a necessidade de medição de terrenos constitui-se base para o desenvolvimento da Geometria. Conforme historiador grego Heródoto (séc. V a. C.), os egípcios cultivavam terras divididas em lotes, nas margens do rio Nilo. Na época das chuvas, o rio transbordava e as marcas divisórias dos lotes eram apagadas. Os funcionários do faraó refaziam a divisão da terra e, para isso, mediam comprimentos, larguras, ângulos e traçavam linhas paralelas.

Os gregos aprenderam com os egípcios esses conhecimentos e os desenvolveram mais que qualquer outro povo antigo; deram a esses conhecimentos o nome de Geometria porque inicialmente serviam para medir as terras. Sobre isso, Caraça (1989) destaca:

Os primeiros conhecimentos de natureza geométrica derivam de resultados empíricos relacionados às medições de terras, às construções arquitetônicas, às determinações de áreas ou volumes ou ainda a cálculos astronômicos envolvidos na fixação do calendário. Entretanto, foi apenas na Grécia, por volta do século III a.C. com os trabalhos de Euclides, que a Geometria logrou uma notável sistematização, tornando-se modelo de organização do conhecimento em quase todas as áreas.

O ensino da Geometria na Educação Infantil deve iniciar pela exploração do espaço vivido para situar-se nele, analisá-lo percebendo os objetos, suas posições e as relações métricas no espaço. Conhecer Geometria implica apropriar-se de conceitos sobre a localização e a movimentação no espaço físico para a orientação espacial em diferentes situações do cotidiano. Esse trabalho terá como primeira referência o próprio corpo da criança.

Nas imagens, os alunos se encontram em diferentes espaços vividos com atividades e brincadeiras variadas, as quais permitem-nas se deslocar no espaço e se orientar de diferentes maneiras: para frente, para atrás, para o alto, embaixo, dentro, fora etc.

A criança começa o processo de domínio espacial utilizando-se do próprio corpo quando realiza olhares, gestos, movimentos e deslocamentos. Ao começar a andar, amplia-se o círculo de interação com os objetos que a rodeiam, aumentando a percepção das formas, das relações de tamanho, das semelhanças e das diferenças. É necessário que o sujeito se localize no espaço, movimente-se nele, e que perceba a forma e o tamanho dos objetos e a relação disso com o seu uso, estabelecendo pontos de referência em seu entorno, situando-se no espaço e localizando-se nele. É fundamental para o aluno reconhecer-se em um determinado espaço e, a partir dele, localizar-se no plano, por exemplo, utilizando-se dos conceitos espaciais tais como: direção, sentido, lateralidade, profundidade, anterioridade, podendo, ainda, representar tais conceitos por meio de maquetes, plantas baixas, ampliando para a localização da sua casa, de seu bairro.

Os estudos históricos revelam que a Geometria se desenvolveu pela necessidade que os homens tiveram em resolver seus problemas de plantio, de navegação, entre outros, isto é, fruto das atividades humanas, do trabalho. Malba Tahan (2005) afirma que

Ao desenvolver atividades em sala de aula, o professor deve explorar a natureza por meio das formas e suas relações geométricas (botões de flor, girassóis, caramujos, favos de mel, abacaxis, frutos do pinheiro — pinha, corpo humano, etc.) e usar materiais tais como: tangrans, dominós, blocos lógicos, mosaicos, painéis, dobraduras, quebra-cabeças, jogos de encaixe, entre outros.

Moura et al. (2017) sistematizaram o movimento lógico-histórico da constituição dos conceitos geométricos em quatro etapas, a saber: geometria sensorial, geometria prática, geometria formal e geometria científica. Uma síntese desse movimento está no quadro a seguir:

Com base no estudo sobre a constituição histórica da Geometria, Moura et al. (2017) estabeleceram as relações essenciais dos conteúdos geométricos, os quais são fundamentais na organização do ensino, a saber:

A partir dessas relações emergem os diferentes conceitos geométricos. Por exemplo, o conceito de localização espacial é constituído pelos seguintes nexos conceituais: orientação, ponto de referência, distância, lateralidade, longitude e fronteira.

O ensino de Geometria deve partir da exploração da realidade do sujeito, isto é, a partir de sua experiência com espaço e norteada pelos conceitos científicos e a forma de pensar essa experiência. A formação do pensamento teórico tem como base a apropriação dos conceitos científicos.

De acordo com Lanner de Moura (2004), entende-se que a criança, a partir do espaço físico e de suas relações, irá gradualmente apropriando-se do espaço cuja via de acesso é a abstração. Assim sendo, devem ser propostas atividades aos alunos que possibilitem a ação, a criação e a recriação do espaço, proporcionando-lhes a apropriação de conceitos geométricos de maneira que possam representar, descrever e interpretar o mundo em que vivem.

O trabalho com os conteúdos de Geometria visa proporcionar a compreensão mais elaborada do espaço e das formas. Para tanto, é possível realizar com os alunos atividades que envolvam conceitos de espaço: colocar as bolinhas dentro da caixa, guardar a boneca na frente do carrinho, sentar-se ao lado do colega e outras possibilidades. Além disso, outras atividades podem ser realizadas: brincar de esconder com os colegas ou achar objetos escondidos no espaço; observar e imitar seus colegas nas diferentes formas de exploração do espaço, percorrendo trajetos propostos: circuitos desenhados no chão, feitos com corda, elásticos, tecidos, mobília e outros limitadores e obstáculos para subir, descer, passar por baixo, por cima, por dentro, por fora, na frente, atrás, contornar, explorando o espaço ao seu redor fazendo movimentos como saltar, correr, se arrastar; e ter contato com relações de lateralidade (direita/esquerda) por meio das cantigas de roda, parlendas e contação de histórias sonorizadas.

É necessário reconhecer os sólidos geométricos na sua relação com as três dimensões (unidimensional, bidimensional e tridimensional), bem como semelhanças e diferenças entre as formas geométricas encontradas na natureza e nos objetos construídos pelo homem, além de identificar as figuras geométricas planas em um sólido geométrico e os corpos redondos (cilindro, cone, esfera), isto é, o que rola e o que não rola.

A Geometria deve partir da exploração de elementos ligados às experiências das crianças, fazendo com que os conceitos geométricos sejam trabalhados a partir das suas relações com o espaço nas formas unidimensional, bidimensional e tridimensional, e, ainda, relacionando-as aos conhecimentos com os eixos. Por exemplo: a exploração das figuras geométricas tridimensionais, a partir da utilização de caixas que representam os sólidos geométricos, auxilia na apropriação dos conceitos geométricos pela criança. Ferreira (2016) defende que

O ensino de Geometria deve contemplar a manipulação e a exploração de objetos, observando suas propriedades (semelhanças e diferenças), sendo utilizados pela criança na interação com outras crianças e em companhia do adulto.

As crianças realizam ações exteriores com os objetos, fazem agrupamentos e separações. Essas manipulações, ao serem verbalizadas, revelam o encadeamento de ideias, externando as ações internas do pensamento. Nesse aspecto, Giardinetto e Mariani (2013) argumentam:

O referido autor ao chamar a atenção para a linguagem, a qual, na relação adulto-criança, deve ter como objetivo criar a necessidade de se comunicar empregando os conceitos matemáticos, os quais estão presentes nas relações entre o mundo circundante.

Com isso, o aluno compreenderá e utilizará os pontos de referência tais como: perto, longe, em cima, embaixo, dentro e fora e outros; os conceitos de fronteira e de interioridade (dentro, fora); além de explorar as possíveis formas poligonais e não poligonais das faces que compõem os sólidos. Uma vez as faces recortadas ou contornadas, dá-se a ideia de figuras planas (bidimensionais) e permite exemplificar o segmento de reta (unidimensional).

No trabalho com os sólidos geométricos, salienta-se a importância de fazer relação entre objetos que tenham formas geométricas: para lembrar o cone, é possível apresentar chapéu de palhaço ou a casquinha de sorvete; para lembrar o cilindro, sugere-se o uso de latas de refrigerante; e para lembrar as formas de pirâmides, utilizar embalagens e enfeites.

Em outras situações de trabalho com os sólidos pode-se: manipular jogos de encaixe e de construção, explorando cores, formas, texturas, planos e volumes. É possível explorar superfícies com texturas tridimensionais diversas: pedrinhas, sementes, algodão, argila e outros. Também, recomenda-se a utilização de materiais variados com possibilidades de manipulação (argila, massa de modelar), explorando cores, texturas, superfícies, planos, formas e volumes ao criar objetos tridimensionais.

No que se refere às figuras planas — quadrados, retângulos, triângulos e círculos —, devem ser exploradas a classificação e as propriedades geométricas dos polígonos e do círculo. Nas Figuras 25 e 26, é possível perceber o trabalho com esses elementos.

A Geometria deve partir da exploração de elementos ligados à realidade do sujeito, situação na qual os primeiros conceitos relativos aos elementos geométricos podem ser trabalhados a partir da experiência desse com os elementos do espaço e sua familiarização com as formas unidimensional, bidimensional e tridimensional, relacionando-as aos conhecimentos dos eixos.

Para auxiliar na compreensão da grande quantidade de informações e das diferentes formas de apresentação de dados que se manifestam na prática social, a escola precisa ensinar os conteúdos que compõem o eixo Estatística e Probabilidade. De acordo com Moura et al. (2017),

Acrescenta-se, também, a necessária exposição dos dados, com o intuito de se compreender os fenômenos do mundo real. Tal movimento revela-se como a origem da ciência estatística, a qual se constitui para entender a realidade. Para os autores,

Ademais, os pesquisadores aprofundam sobre o objeto da Estatística, o qual:

Lopes (2008) também compreende a Estatística como “[...] conceitos e métodos para coletar, organizar e analisar informações diversas” (LOPES, 2008, p. 61). Para a autora, esse método tem-se revelado um poderoso aliado no desafio que é transformar a informação bruta, ou seja, compreender a prática social que a todo momento produz informações.

Considerando que a Matemática tem por objetivo o desenvolvimento do pensamento teórico no processo de apreensão do controle entre as diferentes quantidades, grandezas e formas, o trabalho com o eixo Estatística e Probabilidade também deve ser conduzido nessa direção e seus conteúdos devem ser desenvolvidos fazendo parte de um sistema de conceitos.

Moura et al. (2017) destacam as relações essenciais do sistema de conceitos do ensino de Estatística e Probabilidade, a saber:

Como essas são relações essenciais, elas precisam estar presentes no processo de ensino e de aprendizagem para que os alunos se apropriem dos conceitos inerentes a esse eixo matemático e desenvolvam o pensamento teórico.

De acordo com Lopes (2008), a importância do trabalho com a estatística e a probabilidade está em “[...] possibilitar ao estudante desenvolver a capacidade de coletar, organizar, interpretar e comparar dados para obter e fundamentar conclusões, que é a grande base do desempenho de uma atitude científica” (LOPES, 2008, p. 51).

É fundamental que o professor em seu trabalho promova no aluno uma atitude investigativa, intervenha na formulação de questões e elaboração de hipóteses, bem como escolha amostras e instrumentos adequados para a resolução de problemas. A coleta dos dados orientada pelo professor permitirá que sejam classificados e representados de forma pictográfica. Ao inserir o aluno no universo investigativo, deve se partir de situações significativas, desencadeando diferentes formas de problematizações, conforme é possível perceber nas imagens a seguir:

Nesse contexto de aprendizagem está presente a necessidade de desenvolver a contagem de possibilidades, denominada combinatória. Partindo-se de estratégias das próprias crianças, é possível introduzir formas variadas de organizar os dados, por exemplo, o raciocínio probabilístico, que, embora na Educação Infantil não precise ser sistematizado, pode ser iniciado a partir de situações lúdicas desenvolvendo conceitos simples, auxiliando a criança a identificar eventos com maior ou menor chance de ocorrer.

Nas ideias de probabilidade pode-se trabalhar com possibilidades de um evento ocorrer: É possível encontrar na rua de sua cidade um urso polar? Na sala há mais meninos que meninas? Se fizermos um sorteio, é mais fácil tirar o nome de um menino ou de uma menina? Por quê? Se em um jogo de futebol você puder apostar que os dois times ganhem ou empatem, tem jeito de não ganhar?

Se um dado for lançado, não se conhece de antemão que número sairá, pois há seis possibilidades que correspondem às seis faces do cubo, quantas probabilidades o acaso oferecerá para que, ao lançar o dado, saia determinado número? Quando se lança uma moeda, há duas possibilidades de resultados: cara ou coroa; e não se sabe qual delas ocorrerá. Isso faz do lançamento de um dado ou de uma moeda um experimento que explora a aleatoriedade; da mesma forma acontece com o jogo de bingo.

O raciocínio combinatório demanda trabalho com o pensamento hipotético-dedutivo, alicerçando o conhecimento científico. Por meio dele, os alunos devem ir para além do senso comum, da materialidade, e elaborar pensamentos frente ao que pode ser possível. A partir de determinadas estratégias, pode-se saber quantos elementos ou quantos eventos são possíveis em uma determinada situação, sem necessariamente ter que contá-los um a um; contam-se, com uma ação sistemática, grupos de possibilidades.

É importante destacar que o raciocínio combinatório se constitui em uma das ideias da operação de multiplicação, assim, o seu trabalho deve ser articulado ao eixo números e álgebra. No raciocínio combinatório, é importante explorar as diversas possibilidades de se efetuar uma multiplicação, por exemplo, ao vestir as bonequinhas com suas roupas, perguntar quantos trajes diferentes pode-se vestir uma boneca que tem duas calças e três camisetas.

Uma sugestão de trabalho é utilizar a obra de Literatura Infantil, intitulada A Fantástica Máquina dos Bichos, de Ruth Rocha. Essa é a história de Zé Mico e Pancinha; os dois personagens constroem uma máquina e resolvem chamar todos os vizinhos para apresentar o invento. De repente, a máquina começa a tragar todos os animais e quando esses saem da máquina estão todos “misturados” com as partes do corpo um do outro. A partir dessa história pode-se trabalhar com os alunos a formação de diferentes animais, entregando fichas com partes dos animais e questionando as crianças: Quantos animais diferentes eu posso construir com essas fichas? Para facilitar a visualização, deve-se construir um mural, que auxiliará na verificação de possibilidades da formação de diferentes animais. Os alunos podem desenhar os animais para encontrar a quantidade de combinações. De forma pictórica para a resolução do problema combinatório, pode se usar a árvore de possibilidades, na qual o aluno combina: a parte superior do corpo do macaco com a parte inferior do urso, elefante, entre outras combinações. Posteriormente, pode-se realizar o uso de tabela de dupla entrada também de forma pictórica.

Para o trabalho com o desenvolvimento do raciocínio combinatório, é significativo trabalhar diferentes situações-problemas para que, com a intervenção do professor, os alunos transformem suas estratégias informais em procedimentos sistematizados.

A Estatística tem como finalidade organizar, sintetizar e expor grandes quantidades de dados mediante o uso de medidas e de representações que mostrem os dados coletados, as tendências e as relações entre as variáveis. A partir de gráficos e tabelas, é possível informar sobre os mais variados assuntos e, em posse de dados, refletir sobre o que eles indicam e sobre a temática, fazendo isso de forma lúdica, conforme as Figuras 30 e 31 demonstram:

Para iniciar o trabalho com a estatística, deve ser explorada a oralidade dos alunos, por exemplo, perguntando se na sala há mais meninos ou meninas, quantas crianças fazem aniversário no mês de março, quantos dias choveram. Com os alunos do Infantil IV e V, é possível representar as situações apresentadas, por exemplo, utilizar o gráfico de barras para representar as alturas das crianças (usando tiras de papel kraft), a pintura dos quadradinhos do papel quadriculado como representação do gráfico de coluna, cartaz com colunas de meses etc.

Ao desenvolver atividades com gráficos, a construção desse tipo texto pode ser realizada a partir da representação com os próprios alunos (gráfico humano), utilizando materiais manipuláveis como tampinhas de garrafa PET, caixinhas de fósforo, entre outros. A construção de gráficos pode fazer parte da rotina dos alunos em diferentes contextos. O gráfico não pode ser considerado apenas objeto de enfeite na sala de aula, mas os alunos devem ser instigados a interpretar as informações ali apresentadas. Na Educação Infantil, podem-se explorar os gráficos de coluna ou barras com nomeação dos objetos, os quais podem ser o próprio objeto ou desenhos, indicando a representação direta, como nas Figuras 32, 33 e 34:

Exemplifica-se o trabalho com gráfico e a sua interpretação por meio de uma atividade que envolva a preferência dos alunos por brinquedos. O professor pode iniciar a atividade por meio de uma pesquisa para escolha do brinquedo preferido; após esse levantamento, os alunos se organizam em filas com o brinquedo em mãos, de acordo com suas preferências, seguindo esta ordem: fila de alunos cujo brinquedo favorito é um carrinho; outra fila na qual a boneca é o brinquedo preferido; em outra, os ursinhos de pelúcia, e assim por diante. A partir dessa organização, os alunos constroem um gráfico humano com suas preferências de brinquedos. Feito isso, o professor solicita que os alunos deixem os brinquedos no chão nos lugares que esses ocupavam, a fim de que percebam que cada um está sendo representado por seu brinquedo favorito. Dando continuidade à atividade, o docente entrega-lhes uma gravura com o desenho de seu brinquedo favorito e esse realiza a troca do brinquedo pela gravura no chão onde está disposto o gráfico; isso faz com que o aluno compreenda que nesse momento a gravura passa a representar o brinquedo que antes era representado pelo próprio aluno.

O exemplo citado pode ser ampliado de acordo com a compreensão da turma com relação à representação. O professor representará no chão o gráfico no qual, na sua linha vertical, estarão os números, e na sua linha horizontal, estarão os brinquedos da preferência. Dentre as opções, os alunos irão escolher e votar no brinquedo de sua escolha, identificando-o com fichas ou pratinhos (conforme indicaram as figuras anteriores). Em seguida, o professor transcreve esse gráfico em papel bobina, permitindo aos alunos pintarem ou colarem um quadradinho com seu nome de acordo com a escolha realizada. Além disso, ele pode pedir que os alunos representem o gráfico individualmente de forma pictórica.

Ressalta-se que esse exemplo pode ser desenvolvido com os alunos utilizando-se diferentes informações: sabores preferidos, frutas, cores, formas, histórias, animais, brincadeiras entre outros. No entanto, enfatiza-se a importância das crianças participarem de todo o processo, desde a coleta à comunicação dos dados. E ainda, no trabalho com os resultados, o professor poderá relacionar às operações aritméticas, por meio dos seguintes questionamentos: Qual coluna tem mais? Quantos a mais? O que fazer para que elas fiquem iguais? Além dessas perguntas outras podem ser feitas conforme a necessidade e o contexto investigado.

Antes mesmo que a linguagem escrita seja acessível para a criança, os recursos pictóricos tornam-se elementos fundamentais na comunicação. O fato de uma criança não saber ler ou escrever não significa que ela é incapaz de ouvir e de pensar; existem outros meios que podem ser utilizados na solução de um problema proposto, como o desenho e a expressão pictórica. Nessa direção, Moraes (2010) defende que:

Na Educação Infantil, o trabalho com Estatística e a Probabilidade deve possibilitar aos alunos o entendimento da necessidade de procedimentos para coletar, interpretar e expor dados. Nessa etapa, o trabalho se concentrará mais na representação direta, utilizando-se dos gráficos pictóricos e com objetos, visto que o objetivo é formar as bases para o desenvolvimento da capacidade de ler, interpretar e expor os dados sobre os fenômenos da prática social para tomada de decisões.

Após serem apresentados os eixos, os conteúdos e sugestões de encaminhamentos teórico-metodológicos, a seguir, em forma de quadro, foram organizados os eixos, os conteúdos matemáticos e seus nexos conceituais e os objetivos de aprendizagem. Ressalta-se que tais conteúdos são referências para o trabalho, no entanto, devem ser trabalhados de forma articulada tanto entre os eixos matemáticos quanto com as demais áreas de conhecimento que compõem esse Currículo.

Parte-se do pressuposto de que a avaliação “não é fenômeno exclusivo do meio educacional, mas condição mesma da realização da vida humana” (PARO, 2001, p. 33). Fazendo um resgate das condições históricas no curso do desenvolvimento da existência humana, observa-se que o ato de avaliar é uma ação intrínseca ao ser humano no processo de produção da sua existência, pois, precisa analisar se as atividades estão concernentes aos objetivos que pretende alcançar.

Se a avaliação é algo inerente ao ser humano, significa que todas as ações humanas, da mais simples tarefa à mais complexa, necessitam ser constantemente avaliadas.

Nesse contexto, encontra-se inserida a escola, em que o ato de avaliar precisa ser sistemático e intencional. Historicamente, a avaliação esteve relacionada ao produto, ou seja, um meio de verificar os resultados dos processos de ensino e de aprendizagem; entretanto, a avaliação precisa ser pensada e inserida na organização do ensino. De acordo com Moraes e Moura (2009), a avaliação “[...] constitui-se parte inerente do planejamento e da execução da atividade” (MORAES; MOURA, 2009, p. 105). Para tanto, é necessário realizar “análise e síntese na relação entre atividade de ensino elaborada pelo professor e atividade de aprendizagem realizada pelo aluno”, objetivando que o professor realize uma reflexão “sobre a qualidade da sua atividade de ensino” (MORAES; MOURA, 2009, p. 105). Nesse processo, caso não atinja o objetivo, o planejamento deve ser reelaborado, buscando novas estratégias a fim de que o aluno se aproprie dos conceitos matemáticos e desenvolva-se intelectualmente.

A avaliação na Educação Infantil deve permear o desenvolvimento integral da criança e os processos de ensino e aprendizagem. Para isso, requer observações sistemáticas sobre as ações das crianças, principalmente, com relação às suas diferentes formas de comunicação e as suas brincadeiras. A referência para avaliar o aprendizado parte da atividade principal em que a criança se encontra, em diferentes momentos, fazendo a relação entre o aprender e o desenvolver. Martins (2005), a esse respeito, afirma que:

Assim sendo, um instrumento importante para avaliação na Educação Infantil são as produções realizadas pelos alunos, que podem ser coletivas, momentos em que se expressam por meio de gestos, pela linguagem e os aspectos voltados para comunicação, a manipulação de elementos de diversas texturas, registros amplos, por exemplo, ao manipular a tinta, a areia, a terra ou outros elementos, no decorrer das brincadeiras propostas. Os registros dos professores servirão para documentar as produções realizadas; pode-se utilizar registros fotográficos e audiovisuais, mas cabe ao professor escolher o melhor tipo de registro para cada situação. Essas ações pedagógicas devem ser analisadas coletivamente no momento organizado pela instituição de ensino, pensando no desenvolvimento dos alunos, na periodização e nos encaminhamentos que se relacionam à atividade principal.

A avaliação, portanto, tem seu ponto de partida no próprio planejamento das ações de ensino; dependendo do modo como esse é organizado e quais recursos serão utilizados obtém-se o resultado desse processo. Desse modo, a avaliação constitui-se em uma das ações da atividade de ensino organizada pelo professor e da atividade de estudos realizada pelos alunos, ou seja, uma ação mediadora entre essas duas atividades desenvolvidas pelos sujeitos nos processos de ensino e aprendizagem. Moraes (2008), apoiada no conceito de Atividade Orientadora de Ensino, como base teórica para organização do trabalho pedagógico, ressalta que:

Para verificar o que foi apropriado pelo aluno, faz-se necessário, de modo intencional, construir instrumentos avaliativos que possibilitem analisar se os objetivos propostos no planejamento foram alcançados. Tais instrumentos podem ser: exposições orais, resolução de problema, jogos, brincadeiras, trabalho em grupo. No entanto, esses instrumentos devem fazer parte da própria atividade de ensino elaborada pelo professor, não algo que se distancia dessa organização.

Outro ponto fundamental para se compreender o processo de aprendizagem e de desenvolvimento é a dinâmica entre o nível do desenvolvimento real dos alunos e as potencialidades de aprendizagem, manifestadas por meio da zona de desenvolvimento próximo, dois conceitos fundamentais definidos por Vigotski (2000). Nesse sentido, o trabalho pedagógico precisa atuar como campo de possibilidades para o desenvolvimento dos alunos, de modo que eles superem, por meio da apropriação dos conceitos matemáticos, as formas empíricas de controlar quantidades e as diferentes grandezas e alcancem as formas mais elaboradas produzidas historicamente. Percorrer esse movimento nos processos de ensino e de aprendizagem é ponto central do processo avaliativo do ensino e da aprendizagem que objetiva a emancipação dos sujeitos.

Especificamente, com relação ao ensino de Matemática, Moraes (2008) afirma que:

Destaca-se nessa citação que o professor deve ter claro o conceito que está sendo trabalhado, quais ações estão sendo propostas e como os alunos estão realizando tais ações. Moraes (2008) ainda assevera:

A avaliação é parte integrante dos processos de ensino e aprendizagem, abrangendo tanto o trabalho organizado pelo professor quanto as ações de aprendizagem desenvolvidas pelo aluno, e o parâmetro fundamental são os conhecimentos teóricos necessários à formação humana dos sujeitos envolvidos no processo educativo.