Matemática

A síntese sobre a concepção de Matemática e os encaminhamentos metodológicos para a Educação de Jovens e Adultos (EJA), tiveram como referência o documento “Currículo para Rede Pública de Ensino de Cascavel - Ensino Fundamental” (Cascavel, 2020), visto que esse documento é orientador para as ações dos demais níveis e modalidades de ensino do município. No entanto, neste documento buscamos contemplar as especificidades da Educação de Jovens, Adultos e Idosos.

A Matemática, como parte do conjunto de conhecimentos científicos e instrumento simbólico nas relações entre o homem e a natureza para satisfação de suas necessidades, constitui-se um componente curricular fundamental nos currículos escolares (Giardinetto; Mariani, 2007).

Sua origem tem como referência às necessidades práticas da vida diária para garantia da sobrevivência da espécie. Na produção das condições necessárias para se obter resultados práticos e úteis, os seres humanos foram transformando a natureza e, nesse movimento, em uma ação recíproca transformaram-se a si próprios, desenvolvendo a consciência (Engels, 1976). Nesse processo, os seres humanos tiveram a necessidade de criar diversos modos de controle, registro e comunicação da variação de quantidades e assim, produziram os primeiros conhecimentos matemáticos, os quais constituem abstrações, que expressam o pensamento envolvido na atividade de controlar o movimento das diferentes grandezas.

Portanto, o “[...] caráter abstrato do conhecimento matemático obtém sua justificação em algo concreto, que é real e presente antes de qualquer elaboração Matemática” (Otte, 1993, p. 80). Todavia, como acontece em todos os campos do pensamento humano, essas abstrações se afastam do mundo real, do qual se originou, como condição necessária para depois agir sobre ele.

Em síntese, a Matemática é produto das necessidades decorrentes das atividades realizadas pelos seres humanos no processo de produção da vida, “[...] constitui-se como uma riqueza humana e, como tal, deve ser apropriada por todos” (Munhoz; Moura, 2019, p. 66), razão pela qual faz parte da formação escolar dos estudantes em diferentes níveis de ensino.

Para que os sujeitos possam, por meio da escolarização, se apropriar dos conhecimentos matemáticos, historicamente acumulados, é necessário que reproduzam a atividade material e intelectual humana, depositada nos objetos culturais operando, posteriormente, com os conhecimentos adquiridos em sua realidade objetiva.

Com base nos pressupostos da Pedagogia Histórico-Crítica, compreendemos que a função social da escola pública está em garantir a apropriação dos conhecimentos científicos, como instrumentos simbólicos que permitem melhor interação dos sujeitos com o mundo. Para a Teoria Histórico-Cultural, a apropriação desses conhecimentos resulta no desenvolvimento das funções psicológicas superiores¹, fundamental no processo de humanização dos estudantes. Nessa perspectiva, apropriar-se dos conceitos matemáticos é condição para o processo de humanização dos sujeitos inseridos no processo escolar. Para tanto, é necessária, em todas as etapas, níveis e modalidades de ensino, incluindo a EJA, a intervenção direta e intencional do docente, de modo que os estudantes se apropriem dos conhecimentos e desenvolvam suas funções psicológicas superiores.

Assim, é importante compreender a Matemática em suas especificidades, tomando-a como ciência que atua na atividade produtiva e social dos homens, portanto, considerando a relação dos conteúdos matemáticos com as práticas sociais no processo de produção da vida.

O trabalho pedagógico na Educação de Jovens e Adultos dar-se-á considerando o objeto de estudo da Matemática, que se constitui no controle do movimento das variações das diferentes grandezas, na relação com seus aspectos geométricos, algébricos e aritméticos.

O controle das variações das grandezas é inerente à vida humana e elas se apresentam na prática social de duas formas: grandezas discretas e grandezas contínuas². Para que os seres humanos consigam controlar as diferentes grandezas, eles produzem instrumentos físicos e psíquicos para atingir esse objetivo, pois “[...] a análise da relação dos objetos discretos e suas grandezas contínuas — por exemplo, a areia e a sua massa, pedra e seu volume e, o inverso, como a água e seu engarrafamento — permitiu o movimento da relação qualidade-quantidade no desenvolvimento humano” (Dias, 2007, p. 109).

Por meio do trabalho, especial atividade que faz a mediação entre o homem e a natureza, foi desencadeada a necessidade de controlar a variação das diferentes grandezas, para isso produz-se o registro como forma de comunicação e como instrumento mnemônico. Gradativamente, ao longo da história são criadas novas formas mais sintéticas de registrar, ou seja, diferentes signos matemáticos. Por exemplo, dos numerais objetos, pedrinhas que marcavam a quantidade de ovelhas de certo pastor, até os numerais abstratos, materializados no sistema de numeração decimal, temos a história de uma grande invenção: a criação dos números (Ifrah, 2005). As imagens a seguir revelam esse processo.

“Grandezas discretas correspondem a objetos dispostos de formas diferentes no espaço, dando a impressão de que existem “mais” ou “menos” / maior ou menor quantidade de objetos, apesar de as quantidades serem as mesmas, está sempre associada a uma contagem (pedras, sementes, tampas, palitos e etc.). Grandezas contínuas são elementos que requerem instrumentos de medidas como colheres, baldes, copos, etc, para medirem, quantidade de água, areia, dentre outros elementos” (BAURU, 2016, p. 2010).

Com base no exposto é possível verificar a interdependência entre as grandezas e a sua medição para satisfação da necessidade humana de controlar as diferentes quantidades presentes nas variedades de objetos da prática social. Devido à importância do conceito de grandeza para a ciência matemática e para o seu ensino, no Quadro a seguir detalhamos esse conceito.

Assim, o conceito de grandeza acaba sendo nuclear no ensino de matemática, de modo que sua apropriação pelos estudantes possa resultar na aquisição de um instrumento simbólico na sua relação com a realidade, seja usando formas de controlar a variação das diferentes grandezas no seu cotidiano, seja compreendendo as situações em que essas formas de controle são utilizadas pela humanidade em diferentes contextos da prática social.

Dessa forma, compreendemos que a matemática junto com os demais componentes curriculares, contribui para o processo de humanização dos sujeitos envolvidos no processo educativo ao oferecer-lhes ferramentas culturais que medeiam sua interação com a realidade, desenvolvendo neles formas especificamente humanas de pensar e atuar no mundo.

O objetivo da Matemática na Educação de Jovens e Adultos não se diferencia do Ensino Fundamental regular, o qual constitui-se em “Garantir aos alunos a apropriação dos conceitos matemáticos produzidos historicamente, de modo que estes se tornem instrumentos simbólicos na sua relação com a prática social, na direção da formação do seu pensamento teórico” (CASCAVEL, 2020, p. 456).

Tendo em vista que nem todo modo de ensinar Matemática propicia esse tipo de apropriação, apresentamos, a seguir, aspectos essenciais para o encaminhamento teórico-metodológico que visam assegurar que o objetivo da disciplina, em conjunto com a função social da escola, que é a de garantir a apropriação do saber em suas formas mais desenvolvidas, seja atingido.

Para que os estudantes se apropriem dos conceitos matemáticos de modo que formem o pensamento teórico, as ações de ensino precisam ser sistematizadas intencionalmente, visando superar o senso comum, ou seja, não estarem pautadas em práticas mecânicas e nas impressões diretas dos conceitos. É preciso que o ensino esteja alicerçado nos conhecimentos científicos e com caráter problematizador.

O ensino da matemática para a Educação de Jovens e Adultos, vai além da preparação para atuar com os fenômenos matemáticos cotidianos, deve pautar-se no caráter formativo, na direção de desenvolver as capacidades cognitivas, bem como de caráter funcional no que tange à aplicabilidade da matemática nas vivências dos sujeitos (Damasceno; Oliveira; Cardoso, 2018). Para isso, o trabalho docente deve:

Contextualizar a Matemática é transformá-la em um instrumento útil à realidade de cada aluno, não no sentido de trabalhar apenas os conteúdos que fazem parte da vida dos educandos, mas de utilizá-los como exemplificações desde que sejam aplicáveis ao contexto (Santos e Oliveira, 2015, p. 63).

No ensino de todo conteúdo escolar e em todos os níveis de ensino, é preciso pensar na tríade Sujeito-Conteúdo-Forma, como exposto no Currículo para Rede Pública Municipal de Ensino de Cascavel — Volume II e no texto introdutório deste Currículo. Esse pressuposto tem ainda mais importância quando nos referimos ao ensino na modalidade da EJA, isto porque temos como objeto de ensino, os mesmos conteúdos do ensino regular, temos como forma de ensino os mesmos encaminhamentos, porém os sujeitos a quem se destina esse ensino são muito diferentes daqueles que frequentam os anos iniciais do ensino fundamental na infância. E ao mudar o sujeito, há necessidade de se alterar algumas ações de ensino, mesmo que mantidos os conteúdos e forma geral de organização do ensino.

Então, quem são os estudantes da EJA? Historicamente, a EJA foi criada para suprir a necessidade de adultos que não cursaram o ensino regular, em especial para alfabetizar os sujeitos com o intuito de inseri-los no mercado de trabalho (Beisegel, 1974). A tônica sempre foi a erradicação do analfabetismo, que infelizmente persiste até os dias atuais — em 2022 temos 5,4% de analfabetos (IBGE, 2022). No entanto, muitos estudantes não são analfabetos, já tiveram alguma experiência escolar e buscam a EJA para concluir o Ensino Fundamental, esse público tem aumentado nos últimos anos, fazendo com que essa modalidade conte também com a presença de adolescentes. Com as políticas de inclusão que passaram a se fazer presente nas últimas décadas, há também pessoas com deficiências entre os estudantes da EJA, bem como de idosos que retornam aos estudos⁴.

Assim, atualmente os sujeitos da EJA são adolescentes, jovens, adultos e idosos, que, ao longo da vida, estabeleceram diferentes relações com o conhecimento escolar. Diferentemente da criança do ensino fundamental, a qual não tem constituída uma ideia do que seja cada componente curricular, portanto, não tem formado preconceitos acerca dos conhecimentos neles trabalhados, nem expectativa sobre a necessidade desses conhecimentos para a vivência na sociedade, os estudantes da EJA trazem consigo experiências advindas de suas interações cotidianas e de situações escolares anteriores, normalmente marcada pelo fracasso, que se constituem em preconceitos acerca de alguns conteúdos e da capacidade pessoal de se apropriarem deles.

No caso dos conteúdos deste componente curricular, é comum que os estudantes da EJA reconheçam a importância dos conhecimentos matemáticos no cotidiano, pois lidam com esses de maneira pragmática, empírica. Ao desenvolverem atividades como: preparar um bolo, operam com medidas de capacidade; ao organizar o trabalho da casa ou seus compromissos profissionais, operam com medidas de tempo; ao realizar o controle dos seus gastos, operam com medidas de valor, ou seja, em suas ações operam com os conceitos matemáticos. Porém, não relacionam essas operações aos conhecimentos matemáticos formais, como são apresentados na escola. Por isso, mesmo que no cotidiano realizem com desenvoltura determinadas tarefas que exigem controle do movimento de quantidades, é comum que afirmem não saberem matemática, não gostarem desses conteúdos, não terem capacidade para aprender. Muitos adultos têm a compreensão de que os conhecimentos matemáticos são abstratos e distantes de sua prática social.

Assim, o trabalho pedagógico com os alunos da EJA, deve contemplar a interação e valorar as particularidades de suas vivências, não subestimando as suas potencialidades, que de modo particular e diante de seus conhecimentos desenvolveram diferentes estratégias para solução dos problemas diários (Rabaioli; Borges, 2011). Muitas dessas estratégias têm bases científicas, porém suas apreensões se deram de modo informal, nas relações que estabeleceram e estabelecem com a prática social.

Para articular os conhecimentos que os estudantes da EJA possuem, no sentido de avançar no processo de apropriação dos conhecimentos matemáticos, faz-se necessário questionar: o que determina as atividades dos sujeitos que frequentam a EJA? Quais são as necessidades e motivos que mobilizam suas ações no viver e, em especial, nos estudos? Compreender essa relação é importante para buscarmos pontos de conexão entre os interesses, necessidades, conhecimentos prévios desses sujeitos e o conhecimento a ser ensinado, buscando, desse modo, criar neles motivos de aprendizagem. Independentemente da idade desses estudantes, é importante considerar que se busca igualmente uma educação que promova o máximo desenvolvimento dos estudantes, visto que “[...] o indivíduo, jovem ou idoso, a partir do momento em que se apropria de novos saberes concomitantemente tem a possibilidade de reestruturar suas funções psíquicas superiores e ampliar sua consciência” (Boccato; Franco, 2019, p. 52).

É necessário considerar, que os sujeitos da EJA enquanto estavam na idade de frequentar a escola regular, por um motivo ou outro, não tiveram acesso aos estudos (ou tiveram pouco acesso), participaram de outras práticas culturais que propiciaram aprendizagens, este fato os diferencia da criança que tem a possibilidade de frequentar a escola no período adequado ao seu desenvolvimento. Os sujeitos da EJA já adquiriram, ao longo da vida, um importante repertório de saberes. No entanto pelo próprio lugar que ocupam nas relações sociais, muitas vezes, não participaram de situações que possibilitaram o desenvolvimento do pensamento teórico. Como afirma Leontiev (1987), as atividades que regem o desenvolvimento humano estão relacionadas, diretamente, ao lugar que os sujeitos ocupam nas relações sociais e, no caso específico em análise, os lugares ocupados pela maioria dos alunos da EJA, não possibilitou, nem requereu deles esse desenvolvimento.

Entender o que determina o modo de vida dos estudantes da EJA nos conduz a pensar os conteúdos escolares e as formas de ensinar. Sendo sujeitos com mais tempo e experiência de vida, inseridos em diversos contextos (trabalho, familiar, religioso, comunitário), temos que buscar ações de ensino que contribuam para promover nova qualidade na relação deles com a prática social. No caso do ensino de Matemática, seus conceitos são imprescindíveis para que os estudantes formem uma relação mais consciente com o mundo, visto que o controle da variação das diferentes grandezas é inerente às atividades humanas.

Para isso, é importante a organização dos conteúdos escolares e a forma de ensiná-los. Os conteúdos matemáticos estão divididos em quatro eixos, a saber: números e álgebra, grandezas e medidas, estatística e probabilidade e geometria (Cascavel, 2020)⁵.

Como forma didática, apresentamos os quadros com os eixos estruturantes e seus conceitos constitutivos, nos quais buscamos considerar a relação entre os conceitos em um sistema, sendo este um dos princípios da Atividade Orientadora de Ensino. Conforme define Vigotski (2001), os conceitos não se constituem de forma isolada, mas sim como um sistema relacional de conceitos.

Por exemplo, o Sistema de Numeração Decimal é constituído pelos conceitos inferiores (subordinados) de: agrupamento-base, valor posicional e os símbolos numéricos. Essa relação de sistema de conceitos, deve ser compreendida no movimento lógico-histórico de sua produção, em que se revela a sua essência, isto é, a relação geral que há entre eles. Para que os conceitos inferiores generalizem a um nível superior, é necessário que os alunos compreendam os nexos conceituais (Cascavel, 2020, p. 477)

Por nexos conceituais entendemos a relação essencial entre os conceitos. Conforme Sousa (2018, p. 51), nexo conceitual é “o elo entre as formas de pensar o conceito, que não coincidem, necessariamente, com as diferentes linguagens que representam o conceito matemático”. No caso do sistema de numeração decimal, no conjunto dos números naturais, o nexo conceitual constitui “[...] o fazer corresponderem os agrupamentos regulares e irregulares, os sistemas numéricos, as bases numéricas e as diversas representações. Todos esses nexos internos são históricos e variam de cultura para cultura” (Jesus; Sousa, 2011, p. 116).

Essa forma de conceber e organizar a atividade pedagógica está relacionada aos princípios da Atividade Orientadora de Ensino, na direção de materializar atividades de ensino junto aos estudantes de modo que gerem aprendizagem e desenvolvimento psíquico, isto é promover um ensino “[...] que coloca o sujeito em atividade, ou seja, gera no indivíduo motivos, ações, finalidades e operações para aprender” (Asbhar, 2011, p. 77).

Para gerar aprendizagem e desenvolvimento psíquico temos que considerar outros dois princípios da Atividade Orientadora de Ensino: o caráter problematizador e o movimento lógico-histórico do conceito, os quais são materializados na Situação Desencadeadora de Aprendizagem, que visa colocar os estudantes “[...] em tensão criativa, à semelhança daqueles que a vivenciaram, ao resolver seus problemas autênticos, gerados pelas necessidades de ordem prática ou subjetiva” (Moura, Araujo, Serrão, 2019, p. 422).

O princípio do caráter problematizador na atividade de ensino parte da concepção de que os conceitos científicos não devem ser ensinados de forma direta e discursiva, faz-se necessário problematizá-los para que gerem motivos de aprendizagem nos estudantes e os coloquem em atividade mental. No caso dos jovens, adultos e idosos, é importante partir de situações-problema da prática social, as quais os mobilizem pensar em soluções, instrumentalizados pelos conceitos matemáticos na direção da formação do seu pensamento teórico⁶.

Para ilustrar esse modo geral de organização do ensino mediado pelos pressupostos da Atividade Orientadora de Ensino, apresentamos uma (SDA), tendo como ponto de partida as seguintes questões:

Diante dessas questões, apresentamos, a seguir exemplos de encaminhamento metodológico para o ensino de alguns conteúdos que fazem parte do currículo da EJA. Nesses exemplos, levamos em consideração o caráter problematizador das ações de ensino e aprendizagem, o movimento lógico-histórico dos conceitos e, de modo especial, procuramos evidenciar os sujeitos a quem se destina esse ensino (estudantes da EJA). Nesse processo, buscamos pensar em uma situação que expressa algo comum vivenciado pela maioria dos trabalhadores e trabalhadoras brasileiros: um ônibus lotado.

Essa imagem permite pensar: Quais conteúdos matemáticos podem ser trabalhados? É possível elaborar uma SDA com base nessa imagem?

A própria imagem já representa um problema-desencadeador, visto que se pode trabalhar com diferentes conceitos (medida de quantidades, números naturais e racionais — fração imprópria 75/40: relação pessoas e lugares — velocidade, trajeto, distância, medidas de valor, operações fundamentais, porcentagem, entre outros). Porém, não basta identificar os conteúdos, é necessário elaborar um problema desencadeador a ser apresentado aos estudantes para que suas ações se relacionem com o conceito matemático a ser ensinado.

Tendo como referência a imagem do ônibus lotado, é possível trabalhar com os estudantes em diferentes níveis de aprendizagem, ou seja, aqueles que têm domínio de conceitos matemáticos, por exemplo do sistema de numeração decimal e àqueles que estão no processo inicial de escolarização, isto é, que possuem conhecimentos rudimentares sobre o controle de quantidades. Assim, mediante uma situação vivenciada na prática social pelos estudantes da EJA, considerando suas especificidades e vivências, temos a possibilidade de realizar várias ações de ensino e aprendizagem sem recorrer a práticas que infantilizam os sujeitos desta modalidade de ensino.

Refletindo sobre a organização da atividade de ensino na SDA “ônibus lotado”, apresentamos dois problemas-desencadeadores. Um que pode ser trabalhado com os estudantes da EJA na fase inicial de apropriação dos conceitos matemáticos, 1º e 2º período e o outro com os estudantes do 3º e 4º período. Essa situação desencadeadora de aprendizagem possibilita elaborar muitas outras questões sobre a relação dos estudantes com o tipo de transporte que utilizam para se locomoverem na cidade.

No que se refere diretamente aos conhecimentos matemáticos, o primeiro problema para trabalhar com os estudantes do 1º e 2º período da EJA pode ser apresentada a seguinte questão: Como podemos saber se no trajeto sentido bairro-centro da cidade todos os passageiros viajarão sentados?

Em um primeiro momento, os estudantes podem sugerir que se realize a contagem de bancos do ônibus. O professor deverá problematizar, questionando aos alunos como poderiam responder a indagação sem o uso da contagem. Ao colocar a situação desta forma, a solução precisará passar pelo conceito de correspondência biunívoca, revelando a necessidade humana da relação um a um e o numeral (que pode ser objeto⁷ ou abstrato), conceito fundante para os demais conceitos matemáticos, visto que precisarão do registro e controle do movimento das variações quantitativas.

Assim, para solucionar o problema os estudantes precisarão estabelecer a relação essencial, poltronas e pessoas.

Nessa relação temos o conceito de número e numeral, pois cada poltrona corresponde a uma pessoa, temos a unidade natural.

No problema desencadeador tem-se,

A poltrona é um objeto idealizado e construído pelos seres humanos para atender suas necessidades e constituído de elementos da natureza, transformados pela ação humana. O sujeito é também parte da natureza, mas esta associação especial — a correspondência biunívoca entre a poltrona e o sujeito — só existe em nosso pensamento. Trata-se de um novo pensar — o número — a síntese geradora de uma nova linguagem — a linguagem matemática, construindo a correspondência biunívoca entre os diferentes movimentos quantitativos, criando-se o número. Realiza-se um novo salto qualitativo, o pensar as quantidades das qualidades, a linguagem matemática cujo núcleo é o número.

O modo de fazer este controle resulta em dois conjuntos, na relação entre o pensamento e a atividade com objetos: conjunto dos objetos que são contados e dos objetos utilizados para contagem: pedras, conchas, gravetos etc. Esses conjuntos, precisam estar ligados pela correspondência biunívoca (um-a-um). Embora pareça simples, a adequação do objeto que conta envolve vários aspectos (Dias, 2011).

Para resolver a situação-problema, os estudantes precisarão analisar e comparar os dados de modo que compreendam as relações, para poderem pensar as estratégias para sua solução. Após essa solução, podemos propor outras situações-problema, envolvendo a quantidade de pessoas e o número de poltronas, possibilitando assim, trabalhar outros conceitos, por exemplo as operações aritméticas.

A imagem do ônibus lotado revela uma situação que faz parte da vivência da maioria dos estudantes da EJA. Ao problematizá-la, torna-se possível trabalhar com os conceitos constitutivos do número (senso numérico; correspondência biunívoca; cardinalidade; ordinalidade e os símbolos). Nessa forma de organizar uma SDA utilizamos o recurso metodológico que Lanner de Moura e Moura (1996) denominaram de Situação Emergente do Cotidiano, que são problematizações advindas da vivência dos estudantes⁸.

Para os estudantes que têm domínio do conceito de número e do sistema de numeração decimal, é possível propor outro problema desencadeador utilizando-se da mesma imagem “ônibus lotado”, e trabalhar com diferentes conceitos matemáticos considerando o trajeto que o ônibus realiza. Assim, ao elaborar a SDA, é possível envolver estudos acerca do trajeto do ônibus da linha bairro-centro, contemplando os conceitos matemáticos, em especial do eixo: geometria, números e álgebra.

No eixo geometria destaca-se o conceito de Localização Espacial e seus conceitos constitutivos: ponto de referência (mais de um ponto, roteiros, plantas); distância; lateralidade; longitude; fronteira e escala. Esses conceitos são articulados à área de Geografia, e realizar essa articulação é importante, o que significa contemplar o princípio teórico dos conceitos em forma de sistema defendido por Vigotski (2001).

Outro problema desencadeador possível de ser trabalhado com os estudantes do 3º e 4º período da EJA refere-se ao conceito de multiplicação, considerando o seu aspecto lógico-histórico, o qual permitiu à humanidade o controle de quantidades de forma mais rápida e precisa. Sendo assim, pode ser proposto o seguinte problema desencadeador utilizando a mesma imagem do “ônibus lotado”: Como podemos saber de forma rápida e precisa a quantidade de pessoas que estão no ônibus?

Aqui a contagem um a um torna-se demorada e não exata, uma forma de resolução desta problemática seria realizar agrupamentos, esse é o conceito fundante da operação de multiplicação. Porém, inicialmente devemos mobilizar as respostas dos estudantes, princípio importante para identificarmos os conhecimentos prévios que eles possuem sobre o controle das diferentes grandezas, bem como explorarmos outras situações que envolvem a necessidade de agrupar. Visto que a multiplicação surgiu da necessidade humana de contar quantidades muito elevadas, pois, somente agrupar em pequenas quantidades já não era suficiente, passou-se a agrupar quantidades maiores e somar consecutivamente (Lima, 1998). Esse movimento revela os aspectos lógico-históricos do conceito explicitando a necessidade humana nele encarnada. Ou seja, o desenvolvimento do conceito surge da necessidade humana.

A partir dessa situação-problema, podemos ampliar para o sistema de conceito que envolve Medida de Valor, o qual está ligado diretamente com o que se tem denominado de matemática financeira. Medida de valor está incluído no eixo “grandezas e medidas” (no quadro de conteúdos/objetivos) e detalhado seus conceitos constitutivos, a saber: unidade de medida: não padronizadas (fichas, folhas, pedras etc.) e padronizada (real, centavo); conceitos de comercialização — troco; prestações; crédito, dívida, lucro, cartão de crédito, boleto bancário, pix etc. Assim, considerando o valor da passagem de ônibus, podemos levantar diferentes situações-problema que envolvem as operações aritméticas.

Ao apresentar ao estudante situações problematizadoras que possibilitam o seu encontro com os conceitos com base na prática social, permitimos a apropriação conceitual, no caso aqui, os conceitos matemáticos, como instrumento simbólico do pensamento. Este é um princípio fundamental na organização do ensino subsidiado pelos pressupostos da Teoria Histórico-Cultural, da Pedagogia Histórico-Crítica e da Atividade Orientadora de Ensino.

Cabe salientar que, o modo como são disponibilizados os recursos didáticos pedagógicos (fichas, tampinhas entre outros materiais para que os estudantes façam os diferentes agrupamentos e os registrem), assim como são abordados os questionamentos dos alunos ao trabalhar o conceito de agrupamento e multiplicação, possibilitarão que eles estabeleçam relações entre a linguagem usual e a linguagem matemática, de modo a expor o movimento de controle de quantidades, registro e comunicação. Esses elementos se constituem em uma forma de leitura do mundo, mediada pelos conceitos matemáticos, procurando revelar o modo sintético e abstrato que constitui a linguagem matemática.

Para ampliar a leitura do mundo mediada pelos conceitos matemáticos, por meio de Situações Desencadeadoras de Aprendizagem, podemos sistematizar outras ações de ensino como forma de instrumentalizar o pensamento dos alunos. Com o objetivo de aprofundar o trabalho com o conceito de multiplicação com vista à aprendizagem e a formação do pensamento teórico dos estudantes, a título de exemplo, apresentamos a SDA, denominada “Distribuição das canetas”:

Por meio desta Situação Desencadeadora da Aprendizagem em conjunto com os escolares é importante desenvolver as seguintes ações, operações e operações racionais:

Para resolver o problema desencadeador, é preciso que os estudantes sejam direcionados para a compreensão da relação entre as unidades de medidas: básica e intermediária. Na linguagem usual teremos, canetas e quantidade de canetas por turma, o que pode ser expresso na linguagem matemática da seguinte forma:

Os elementos essenciais para que se encontre um modo mais rápido de contar e distribuir as canetas são:

Essa forma que descrevemos a relação essencial, pode ser expressa de modo mais sintético, uma das características da matemática. Assim, quando é necessário agilizar o processo de controle de quantidades, o estudante poderá interpretá-lo com base nessa relação universal de multiplicidade, conforme representação algébrica a seguir:

De forma hipotética: se temos 8 turmas, cada uma receberá um jogo de 4 canetas. Então, teremos:

No entanto, se cada turma receber duas canetas de cada cor, tem-se:

Essas sínteses, sendo trabalhadas junto aos estudantes, conduzirão à resposta do problema. Essa síntese coletiva pode resultar na produção escrita de uma carta em resposta à coordenadora pedagógica. Com isso, na resolução da situação problema foi explicitado o conceito de multiplicação e a produção do recurso matemático: a tabuada, revelando a relação essencial deste conceito. A seguir, apresentamos um exemplo de uma possível carta-resposta (síntese, a qual pode ser individual, em grupo ou, ainda coletiva, resposta de toda a turma) ao problema apresentado:

As situações de ensino que consideram a prática social vivenciada pelos estudantes, favorecem o envolvimento deles no processo de apropriação conceitual, revelam a presença da matemática na realidade objetiva e a importância desse conhecimento como instrumento das ações mentais dos estudantes nas mais diversas situações.

Nesse sentido, na organização do ensino de matemática é importante considerar a relação dialética sujeito-conteúdo-forma, o caráter problematizador das ações de ensino e aprendizagem, o movimento lógico-histórico dos conceitos de modo que a atividade pedagógica possibilite a apropriação dos conceitos matemáticos e a formação do pensamento teórico dos alunos.

Como já afirmado, as situações de ensino foram apresentadas a título de exemplo de como, do ponto de vista teórico-metodológico, levar em consideração os princípios orientadores dessa proposta curricular (Teoria Histórico-Cultural, Pedagogia Histórico-Crítica e Atividade Orientadora de Ensino). Assim, ancorados nesses pressupostos, muitas outras situações desencadeadoras de aprendizagem podem e devem ser organizadas para ensinar os conteúdos matemáticos, bem como outros conteúdos que compõem o currículo da EJA nas diferentes áreas de conhecimento.

No caso específico da atividade pedagógica, a avaliação compreendida como mediadora entre a atividade de ensino, organizada pelo professor e a atividade de aprendizagem, realizada pelos estudantes, se constitui como ação e instrumento no processo de ensino e de aprendizagem. Como ação, ela é inerente à atividade humana, isto é, todos os atos humanos, dos mais simples aos mais complexos, são constantemente avaliados, com o intuito de se atingir o objetivo proposto. Assim, a ação de avaliar inicia-se com o planejamento ao sistematizar ações de ensino envolvendo os conceitos matemáticos e suas relações com os nexos conceituais, as quais implicam diretamente nas ações mentais, ressignificando os conhecimentos, internalizando-os e fazendo uso de novas estratégias para objetivar suas ações, tendo no processo de apropriação a avaliação enquanto instrumento de mediação entre o ensino e a aprendizagem, “[...] de forma a assegurar a apropriação dos conhecimentos teóricos” (Moraes, 2008, p. 239).

A referência para a avaliação da aprendizagem necessita contemplar o caráter da relação dialética entre os conteúdos, os objetivos e a forma de organização da atividade pedagógica. Nas ações de ensino desenvolvidas em sala de aula partimos da compreensão do conhecimento que o estudante possui sobre determinado conceito (Nível de Desenvolvimento Real) visando promover um novo nível de desenvolvimento (Nível de Desenvolvimento Potencial), para isso, a atuação tem que focar naquilo que o estudante não consegue ainda desempenhar sozinho, mas que pode fazê-lo com ajuda, em colaboração com o professor e com seus pares (Zona de Desenvolvimento Proximal). Por meio da avaliação, é possível acompanhar e intervir se houve a aprendizagem e o correspondente salto no desenvolvimento. Esse processo é contínuo e depende das atividades proporcionadas aos estudantes. Lunt (1994, p. 234) afirma que a:

[...] avaliação que não explore a zona de desenvolvimento proximal é apenas parcial, já que só leva em conta as funções já desenvolvidas e não aquelas que estão em processo de desenvolvimento e que, por definição, desenvolvem-se por meio da atividade colaborativa.

Nesta concepção de avaliação, revela a forma como os sujeitos se apropriam dos conhecimentos: primeiramente, nas relações com os outros — no plano intrapsicológico — para, depois, incidir no plano individual (intrapsicológico), ou seja, na dinâmica dialética entre o social e o individual, entre o externo e o interno. Também podemos depreender que a avaliação, nesta perspectiva, deve estar voltada para o vir a ser dos sujeitos.

Esses pressupostos trazem aspectos essenciais para analisar como e se o ensino está incidindo na aprendizagem e desenvolvimento psíquico dos estudantes. Ou seja, se os conhecimentos matemáticos estão sendo apropriados de modo a se tornar instrumento do pensamento dos estudantes. Assim, as ações e instrumentos para analisar o processo de ensino e aprendizagem precisam contemplar esse movimento, por exemplo: se inicialmente o estudante resolve diferentes situações que envolve o controle de quantidades apoiado na contagem um a um dos objetos, e, por meio das ações de ensino desenvolvidas em sala de aula, ele modifica esse processo, passando a controlar as quantidades de forma mais rápida e segura, por meio do conceito de agrupamento, a multiplicação, podemos considerar que houve aprendizagem e desenvolvimento de um novo pensamento. E, mais, se ele passa a ter condições de comunicar os resultados oralmente e usando os registros matemáticos, isso significa a apropriação da linguagem matemática. Enfim, a avaliação é o meio para analisarmos se o estudante desenvolveu uma nova qualidade de pensamento, um novo meio de analisar e pensar os fenômenos quantitativos, mediados pelos conceitos matemáticos, os quais tornam-se instrumentos simbólicos na relação dele com o mundo.

Especificamente, com relação ao ensino de Matemática, Moraes (2008) afirma que:

[...] avaliar em matemática depende fundamentalmente do conceito que está sendo ensinado, de sua relação com os nexos conceituais e das ações mentais para a sua apropriação. Se os professores desconhecem os nexos conceituais envolvidos em um conceito, ficam sem referência para a elaboração da atividade de ensino e, consequentemente, para a avaliação da aprendizagem dos alunos. Então, a complexidade do conceito e as condições objetivas para a sua apropriação são elementos essenciais para avaliar a aprendizagem dos conhecimentos matemáticos. (MORAES, 2008, p. 239, grifos no original).

Destaca-se nessa citação que se deve ter a clareza do conceito a ser trabalhado, qual a finalidade das ações que propomos e como os alunos estão realizando tais ações. Assumir essa concepção de avaliação implica um constante processo que envolve análise e síntese, cujo direcionamento é dado pelo objetivo principal da atividade de ensino elaborada pelo professor, ou seja, pela intencionalidade pedagógica.

Com base nessa premissa, ao realizar a avaliação, temos um entendimento mais profundo do processo de aquisição do conhecimento pelos alunos. Desse modo, a avaliação não é apenas para classificar, mas um instrumento e ação para compreendermos como os alunos estão se apropriando dos conhecimentos.

Sendo assim, devemos intervir nas ações dos estudantes com o intuito de garantir a apropriação dos conhecimentos teóricos e a formação do pensamento teórico, contribuindo para que os sujeitos envolvidos no processo educativo desenvolvam as máximas capacidades intelectuais. Por este olhar, a avaliação é uma ferramenta valiosa para orientar o ensino e promover o crescimento intelectual dos alunos. A intencionalidade pedagógica e a análise contínua são fundamentais para garantir que a avaliação cumpra seu papel de contribuir para a aprendizagem em uma relação dialética entre os conteúdos, os objetivos e a forma de organização das ações de ensino. Cabe-nos planejar atividades que estejam adequadas ao nível de conhecimento dos estudantes, desafiando-os a avançar e consolidar novos aprendizados.